Polytope

[Cliffe]

Bonjour,

Comment savoir simplement si l'ensemble des solutions de l'équation forme un polytope ? Avec , et .

Merci.

[mathelot]

..................

[Cliffe]

On connaît et bien sûr.

[mathelot]

bonjour,

Soit S l'ensemble des solutions. C'est un fermé.

De la compacité de S, j'en ai déduit





je ne sais si c'est bon et si ça sert.

exemple, pour le carré unité de , et la norme










le souci, c'est que le numéro de ligne en question dépend de la solution (x,y) ??

dans le 1er quadrant, c'est la ligne 2 qui est positive.

[zygomatique]

Bonjour,

Comment savoir simplement si l'ensemble des solutions de l'équation forme un polytope ? Avec , et .

Merci.

salut

que signifie x >= 0 ?

chaque ligne du système Ax = b est équivalente à l'équation = b_i qui est l'équation d'un hyperplan et donc la relation <= b_i définit un demi-espace

et tu cherches l'intersection de ces n demi-espaces ....

[mathelot]

les notations sont évidentes mais as tu la solution ?

d'après ce que j'en ai compris, il ne faut pas que S ait une composante connexe non bornée.

S doit être compact. Le souci, dans le petit exemple que j'ai fourni, bien que
la boule unité , pour la norme 1, soit bornée, il y a tout de même des coefficients de la matrice négatifs.

[mathelot]

il faut lire ça surprenant

[Ben314]

Salut,
Je viens de farfouiller à droite/à gauche sur le Net pour trouver la définition de "polytope" (moi et les définition, ça fait 2...)

Vu que je suis pas sûr à 100%, le problème c'est bien de savoir si l'ensemble
est une partie borné ou pas ?

[Cliffe]

Non je n'ai pas la solution.

avec le vecteur nul.

polytope = polyèdre convexe.

[zygomatique]

Non je n'ai pas la solution.

avec le vecteur nul.

polytope = polyèdre convexe.

il me semble plutôt que c'est une convention pour dire que chaque coordonnée de x est positive ....


effectivement le problème est donc de montrer que c'est borné ...



et donc puisque on prend x >0 il suffit de tester avec x = 0

si A0 < b (quoique je ne comprenne pas cette notation ...) alors 0 appartient au "bon côté" de chaque demi-espace et donc à leur intersection et l'ensemble des solutions est borné ....

[mathelot]

Salut,
Je viens de farfouiller à droite/à gauche sur le Net pour trouver la définition de "polytope" (moi et les définition, ça fait 2...)

Vu que je suis pas sûr à 100%, le problème c'est bien de savoir si l'ensemble
est une partie borné ou pas ?

oui, c'est nécessairement un fermé comme image réciproque d'un fermé par une application continue.

un théorème dit que c'est borné

[Cliffe]

il me semble plutôt que c'est une convention pour dire que chaque coordonnée de x est positive

bah oui. x_i >= 0 pour tout i si tu préfères.

[Ben314]

il faut lire ça surprenant

C'est quoi qui est surprenant ?

[Cliffe]

est une partie borné ou pas ?

Oui c'est ça. Je pense que c'est assez simple.

[mathelot]

si A0 < b (quoique je ne comprenne pas cette notation ...) alors 0 appartient au "bon côté" de chaque demi-espace et donc à leur intersection et l'ensemble des solutions est borné ....

contient O mais n'est pas borné

[Ben314]

un théorème dit que c'est borné

Si A est la matrice nulle, je pense pas que ce soit borné...

[zygomatique]

contient O mais n'est pas borné

sauf qu'on a aussi la condition x >= 0 ....

[mathelot]

ce qui est surprenant est le fait que S soit borné (sous certaines conditions) est un théorème
signé Minkowski,Steiniz,Weyl.

Quelles sont les conditions et est-ce trivial ?

[mathelot]

sauf qu'on a aussi la condition x >= 0 ....

ah,oui....

d'après la remarque de zygomatique,

d'autre part S est convexe






S est convexe , étoilé.

n'est pas borné

[Ben314]

Perso, j'aurais tendance à penser qu'en utilisant des arguments de compacité de la sphère unité, on devrait pouvoir montrer que est non borné ssi il contient une "demi droite", c'est à dire un ensemble de la forme

Aprés quelques gribouillages, je conjecturerais bien que est borné ssi il existe un vecteur ligne tel que et