Polynômes de Legendre

[superjuju45]

Bonjour, j’aurais besoin d’aide pour la deuxième partie d’un problème (je laisse quand même la première partie car certains résultats doivent être réutilisés), je bloque dès la première question de cette seconde partie :

L0 est le polynôme constant égal à 1, pour n ≥ 1,
Ln(X) = Un(n)(X) où Un(X) = (X²-1)n
c'est-à-dire que Ln est la dérivée n-ième du polynôme Un

1) Soit n un entier naturel.
Déterminer les coefficients du polynôme Un et en déduire les coefficients du polynôme Ln.
Préciser le degré ainsi que le coefficient dominant de Ln

2) En remarquant que Ln est la dérivée n-ième du produit (X-1)n(X+1)n, donner une autre expression de Ln et vérifier en particulier que Ln(1) = 2nn!

3) Pour tout polynôme P∈ℝ[X] et tout entier naturel n, on pose :
cn(P) = ∫ [-1;1]P(x)Ln(x)dx
a) Montrer que, pour tout polynôme P et pour tout n∈ ℕ*, on a :
cn(P) = -∫[-1;1]P'(x)Un(n-1)(x)dx

b)En déduire que, pour tout polynôme P et pour tout n∈ ℕ, on a :
cn(P) = (-1)n∫[-1;1]P(n)(x)Un(x)dx

c)Montrer finalement que pour tout couple (m,n) d'entiers naturels tels que m n, on a :
∫[-1;1]Lm(x)Ln(x)dx = 0 (1)

4)Soit n∈ℕ *
a) Montrer que, pour tout k [[1,n]], le polynôme Un(k) (dérivée k-ième du polynôme Un) admet au moins k racines distinctes dans l'intervalle ouvert ]-1;1[.
(on pourra raisonner par récurrence sur k [[1,n]])

b) En déduire que toutes les racines de Ln sont réelles, deux à deux distinctes, et qu'elles appartiennent à ]-1;1[
PARTIE II
5) Soit n∈ℕ*
a)Montrer qu’il existe n+2 réels (αn,k)0≤k≤n+1 tels que
XLn(X)= ∑k=0n+1αn,kLk(X)
b) En calculant ∫[-1;1]xLn(x)Lj(x)dx de deux manières différentes et à l’aide de la relation(1), montrer que, pour n≥2
∀j∈[[0,n-2]], αn,j = 0
c)A l‘aide des résultats des questions 1 et 2, déterminer les réels αn,n+1, αn,n, αn,n-1
Vérifier finalement que l’on obtient la relation
Ln+1(X)=2(2n+1)XLn(X)-4n²Ln-1(X)
6) Pour tout n∈ℕ*, on note désormais λn la plus grande racine de Ln
a)Calculer λ1, λ2, et λ3.
b) Etudier la monotonie de la suite (λn)n∈ℕ*.
(On raisonnera par récurrence et, pour comparer λn et λn+1, on pourra étudier le signe de Ln+1(λn) à l’aide de la relation (2).)
c) Montrer que la suite (λn)n∈ℕ* est convergente (on ne demande pas de déterminer sa limite)

[GaBuZoMeu]

Question copiée-collée d'un autre forum, sans se préoccuper de la lisibilité. Inutile de répondre, c'est déjà fait sur l'autre forum.

[superjuju45]

Je l'ai pas copié collé depuis un autre forum, je l'ai copié collé depuis un word que j'ai fait moi même parce que j'arrivais pas ne serait-ce qu'à faire des exposants ou des indices et je me disais que ça marcherait comme ça (mais ça n'a pas été le cas)

[superjuju45]

Un truc dont je m'étais pas rendu compte à la première relecture :
l4, (X²-1)n c'est (X²-1)^n
l9 (X-1)n(X+1)n c'est (X-1)^n(X+1)^n