Polynômes et intégrales

[merayone]

Bonjour !

Je suis en prépa MPSI et notre prof nous à donné il y a une semaine un DL sur les polynômes. J'ai beau chercher, je bloque dès la première question !!

Voici mon énoncé :
1. On considère un polynôme A élément de R[X] de degré p€N et de coefficient dominant ap. Prouver qu'il existe un unique polynôme B de R[x] vérifiant :
i) B' = A
ii) "Intégrale de 0 à 1" de B(t).dt = O
On précisera le degré et le coefficient dominant de B.

Pour le degré et le coef dominant de B je dirait instinctivement deg = (p+1) et coef dominant b(p+1) = (ap / (p+1) )... mais je crois que le prof se fout de mon instinct, et je ne suis même pas sûre de ce que j'avance.

Comptant sur votre aide,

merayone

PS : Selon l'énoncé, j'imagine que la démo se fait par "existence" et "unicité" non ?

[Nightmare]

Salut

tout simplement, on sait déjà que B, en tant que primitive de A, est définie à une constante près. Il reste à montrer qu'il n'en existe qu'une unique pour laquelle l'intégrale sur [0,1] soit nulle.

Je te laisse faire, ce n'est pas difficile :happy3:

[merayone]

Alors ce ne serait que ça ? ^^
Mais comment rédiger aussi ? Il ne faut pas séparer existence et unicité ?? Pour l'intégrale je comprend le principe, mais je ne vois pas non plus la rédaction... :triste:

[Nightmare]

Les primitives de A sont de la forme avec la primitive de A qui s'annule en 0 (je confonds légitimement polynôme et fonction polynômiale).

Considère alors la primitive de A prise pour .

[merayone]

Excusez-moi de vous embêter, mais pourquoi faut-il reprendre l'intégrale de Bo(t) ?

[Nightmare]

Eh bien regarde ce que vaut lorsque

:happy3:

[merayone]

Justement, je ne vois pas ! :doh:
Je crois que je n'arrive pas à concrétiser l'intégrale...

[Nightmare]

Comment ça tu ne vois pas? Il n'y a rien de compliqué, remplace B par dans , cela donne et "calcule" cela. N'oublie pas que n'est rien d'autre qu'une constante, note la C si ça te gêne.

[merayone]

Au temps pour moi, on obtient 0. Et alors ? :hum:
Cela signifie que la constante recherchée est nulle ???

[Nightmare]

On a donc bien trouvée une primitive de A dont l'intégrale sur [0,1] est nulle non? Reste à montrer qu'elle est unique!

[merayone]

Merci beaucoup ! :)