Points rationnels sur coniques

[Julien8]

Bonsoir à tous, dans ce document :
http://culturemath.ens.fr/maths/pdf/nombres/gaertner-2008.pdf
on étudie les points rationnels sur les coniques, et on donne une méthode très pratique qui permet, a partir de la connaissance d'un point rationnel sur la conique, de d'écrirer tous les autres..

Ma question est la suivante : est ce que cette méthode est faite dans le plan classique ou le plan projectif ?
Parce que je sais que l'étude des points rationnels sur les cubiques se fait dans le plan projectif pour utiliser le point à l'infini.

Deuxième question : l'étude des points rationnels sur les cubiques se fait dans le cadre général d'un corps de nombres (donc par forcément Q). La méthode donnée sur les coniques est elle aussi dans le cadre de corps de nombres quelconque ? Ou juste Q ?

Merci bcp et bonne soirée.

[Doraki]

Il faut la faire dans le plan projectif et ça marche dans n'importe quel corps.

Par exemple dans le plan affine, si tu prends la conique y=x² et que tu pars du point (0,0), si tu traces la droite x=0, tu ne trouves pas de deuxième point d'intersection.
Dans la version projective, la conique est yz =x², on part du point [0:0:1], l'équation de la droite reste x=0, et quand on cherche les points d'intersection on tombe sur yz=0 donc soit y=0 ([0:0:1]) soit z=0, ce qui donne le point à l'infini [0:1:0]

Et ça marche même avec les corps finis !
Comme ça on peut montrer que dans le corps Z/pZ, une conique (irréductible) a toujours (p+1) points, et la méthode marche pareil : on trouve un point puis on a une correspondance entre les droites projectives et les points projectifs de la conique. Comme il y a p+1 droites, il y a p+1 points.

[Julien8]

Merci de ta réponse ! Cette méthode est possible quelque soit la conique ? Même les hyperboles ?

[Doraki]

Oui.

La seule différence entre les hyperboles les paraboles et les ellipses, c'est l'interaction entre la droite à l'infini et la courbe (le nombre de points à l'infini). L'hyperbole en a 2, la parabole 1 (la droite à l'infini est tangente à la courbe), l'ellipse 0.

[Julien8]

(Pourtant toutes les coniques non dégénérées sur un corps algébriquement clos sont équivalentes..)

Ok merci de ta réponse, j'en ai encore une toute dernière concernant les courbes elliptiques..

En espérant que tu connaisses l'addition sur les cubiques projectives lisses
( http://www.math.jussieu.fr/~hindry/Courbes-ell.pdf )

On définit -P=O'oP
Avec O'=OoO.

Or, en travaillant par la suite de façon plus "concrète", c'est à dire en prenant les cubiques de weierstrass et en posant O comme étant le (le ou un?) point à l'infini = [0,1,0], je me demande ce que donne du coup O'=OoO ?

[Doraki]

Ben la tangente en O à la courbe est la droite à l'infini z=0. Quand tu calcules les points d'intersection tu te retrouves avec x^3 = 0 donc la droite intersecte la courbe en O avec multiplicité 3, et du coup O' = O.