Point de Tchebychev

[tonythx]

Bonjour, pour mon projet de fin d'année, il me faut expliquer l'importance
de prendre les points de Tchebychev, et non des points uniformément réparti, et ceci pour des raisons de performance de calculs. Est-ce que quelqu'un pourrait m'expliquer le raisonnement mathématique d'analyse numérique qui se cache dernière ces points de Tchebychev.
Je vous remercie par avance de bien vouloir me réponse.
tonythx

[alben]

Bonjour, pour mon projet de fin d'année, il me faut expliquer l'importance
de prendre les points de Tchebychev, et non des points uniformément réparti, et ceci pour des raisons de performance de calculs. Est-ce que quelqu'un pourrait m'expliquer le raisonnement mathématique d'analyse numérique qui se cache dernière ces points de Tchebychev.
Je vous remercie par avance de bien vouloir me réponse.
tonythx

Les polynomes de Tchebychev servent pour plusieurs types de calculs numériques : interpolation, intégration, dérivation...
Ce ne sont pas les seuls polynomes orthogonaux que l'on utilise dans l'analyse numérique.
De manière générale, tous ces polynomes ont des racines plus nombreuses vers les bords de l'intervalle de référence que vers le centre. En calculant l'approximation à partir de ces zéros (support) on privilégie les bords au détriment du centre, ce qui donne, dans la plupart des cas, une meilleure précision.
Il serait intéressant que tu précises dans quel cas tu es amené à utiliser un tel support.

[alben]

Pour compléter ma réponse, le choix de ces points est optimal pour le problème suivant :
On veut trouver un polynome P de degré n qui soit le plus proche possible d'une fonction f donnée sur un intervalle [a,b]
Il faut donc choisir n+1 points (on appelle ça le support) dans cet intervalle sur lesquels on écrira que ce qui donnera n+1 équations à partir desquelles ont calculera les coefficients de P
Si les points correspondent aux zéros d'un polynomes de Tchebychef alors la distance entre f et P sera minimale. Plus précisément, pour tout polynome Q de degré inférieur ou égal à n on aura :
Ce qui nous garantit que l'erreur maxi sera la plus petite possible en valeur absolue.

Pour les autres problèmes d'analyse numérique, c'est en général une bonne approximation mais pas forcément la meilleure

[cesar]

Pour compléter ma réponse, le choix de ces points est optimal pour le problème suivant :
On veut trouver un polynome P de degré n qui soit le plus proche possible d'une fonction f donnée sur un intervalle [a,b]
Il faut donc choisir n+1 points (on appelle ça le support) dans cet intervalle sur lesquels on écrira que ce qui donnera n+1 équations à partir desquelles ont calculera les coefficients de P
Si les points correspondent aux zéros d'un polynomes de Tchebychef alors la distance entre f et P sera minimale. Plus précisément, pour tout polynome Q de degré inférieur ou égal à n on aura :
Ce qui nous garantit que l'erreur maxi sera la plus petite possible en valeur absolue.

Pour les autres problèmes d'analyse numérique, c'est en général une bonne approximation mais pas forcément la meilleure

pigé!!! tes points de Tchebychef permettent de lutter contre le phenoméne de Runge !!! -au moins en partie...

[buzard]

Bonjour,

C'est exactement ça, ca empêche les solutions des systèmes numériques de prendre trop d'amplitude par rapport à la solution optimal.

En faite le problème réside surtout aux niveau des discontinuités ou des sauts dans l'etat d'un système. Il vaut mieux resserer l'analyse vers ces sauts, pour ne pas avoir des solutions qui font des zig-zag gigantesques (pense à un circuit dérivateur soumis à un crenau en entrée)

pour les polynomes d'interpolation, une répartition de tchebichev des points d'inerpolation minimise la norme sup (il y a convergence uniforme lorsqu'on ressere le maillage)

un maillage régulier ne vas assurer qu'une convergence en moyenne quadratique. Cela entraine des possibles oscillations très serrés; qui font que ,proche des sauts, certains systèmes numérique se retrouvent avec des valeurs grotesque qui peuvent entrainer une division par zero qui foire tous le problème (surtout lorsqu'il sagit de système informatique pour la régulation)

On peut espérer que ce genre de problème ne se produise pas dans les centrale nucléaire. Ou alors imagine les astronautes de la nasa se scratchant au sol à cause d'une erreur sur un angle de pénétration.

L'idée c'est que là où le système bouge vite il faut un maillage sérré et là où il varie peu un maillage large suffit. De tels méthode qui adapte le maillage spatio-temporel au problème existe mais sont lourde à mettre en oeuvre.

un exemple d'utilisation en est la meteo, qui utilise un maillage assez dense sur les terres et un maillage tres faible sur les océans. En même temps ca ce comprend, je préfère avoir plus d'information sur ce qui va ce passer prés de chez moi plutôt qu'au milieu de l'atlantique ou au pôle nord. Du coup les prédictions sont plus fiables sur les terres que sur les oceans.