Un peu de géométrie

[Imod]

Bonjour

Un exercice de géométrie "élémentaire" posé sur le forum lycée . J'ai bien une solution trigonométrique franchement lourde , quelqu'un aurait-il une solution simplissime ?



Montrer que x vaut 22,5°.

Imod

[Quidam]

Bonjour

Un exercice de géométrie "élémentaire" posé sur le forum lycée . J'ai bien une solution trigonométrique franchement lourde , quelqu'un aurait-il une solution simplicime ?



Montrer que x vaut 22,5°.

Imod

Je prends le problème à l'envers. Je trace le cercle de centre D et de diamètre AC. La droite DB coupe ce cercle en B'. Alors l'angle AB'D=l'angle B'AD=67,5 ° et l'angle inscrit ACB' vaut 45/2=22.5°, soit 67,5°/3. Il est alors clair que x=22.5 est UNE solution du problème.
Il me reste à démontrer qu'il n'y en a pas d'autres...Qu'en penses-tu ?

[Imod]

Tout à fait d'accord Quidam , mais comment montrer simplement qu'il n'y a pas d'autres solutions ?

Imod

[Quidam]

Tout à fait d'accord Quidam , mais comment montrer simplement qu'il n'y a pas d'autres solutions ?

Imod

Ben va falloir attendre, car je ne vois pas tout de suite et je dois m'absenter à présent...Je vais réfléchir quand même,..., si personne ne trouve avant...

[Imod]

Pas de problème Quidam , les maths dans l'urgence ça n'a jamais été mon "truc" .

Imod

[Imod]

Ca y est j'ai la réponse ( ce n'est pas moi qui l'ai trouvée ) . La perpendiculaire à (AC) passant par D coupe (BC) en J , K et L les projetés orthogonaux de B sur (AC) et (DJ) . BKDL est un rectangle dont la diagonale est bissectrice des côtés , c'est donc un carré : BL=BK . Comme le triangle AJC est isocèle CAJ=x et BAJ=2x . En regardant les angles de ABC : ABC=180-4x et dans le triangle ABJ : BJA=2x donc ABJ est isocèle en B et BA=BJ . Alors les triangles ABK et BLJ sont égaux d'angles 90°,x,3x et x=22,5° .

Imod

[Quidam]

C'est effectivement élémentaire ! Bravo à celui qui a trouvé !