Un petit exo de proba..

[Als128]

Bonjour,
Une petite question concernant un exo sur les variables discrètes.
L'énoncé dit :

Sur 120 mois on a compté 240 catastrophes. On suppose ces catastrophes réparties au hasard et indépendamment les unes des autres sur les 120 mois.
A la cata. on associe le numero du mois ou elle s'est produite
les 240 v.a. son equiréparties sur et indépendantes.

Quelle est la loi exacte du nombre N de catastrophes survenues au cours du 17èmes mois. Donner la variance et l'espérance.

J'ai raisonné ainsi :

Le cardinal des sous ensemble de contenant N à 17 mois est :
La probabilité associée est donc :
On travail sur l'ensemble des "N mois parmi les 240", il y a donc possibilités.

La loi de est donc

Pour la variance on pose tel que si et sinon
c'est à dire c'est à dire

On a donc

La variance est
Après calcul je trouve

Donner une loi approchée classique N' de N. Quelles sont l'espérance et la variance de N'? On discutera des valeurs trouvés avec celles obtenues en 1)

L'énoncé donne aussi cette indication : pour n grand (n>30) et a moyen (entre 0,1 et 10), la somme des n variables aléatoires de Bernouilli indépendante de paramètre peut être approché par une va de Poisson de paramètre a

Ben en fait la je cale un peu. J'ai bien compris que la loi approché était la loi de poisson. Mais pour le paramètre je trouve soit a=1 et donc une grosse différence avec les résultats du 1) (car du coup E=V=1)

Donc le 1 est faux ou le 2 est mal compris... Ou est mon erreur ?

Merci de votre aide !!!!

[alavacommejetepousse]

bonjour il y a plusieurs problèmes

1 tu traites N comme un nombre fixé alors qu 'il est aléatoire

il faut écrire P(N = k) où k est entier entre 0 et 240
2 il y a 120 lois et non 240 donc dans ta formule (120-k) et 1/120

3 la loi de N est une loi binômiale B(240,1/120) d éspérance 2

qu 'on approche par N' poissonnienne de même espérance , de variance proche