Petit exercice de proba

[jonses]

Bonjour,

J'essaye de faire un exercice de proba, mais je tombe sur un résultat qui me parait faux, ou pour dire autrement, je sens que mon raisonnement est faux (je n'aboutis pas au même résultat que le numéro uno de la classe) cependant je n'arrive pas à trouver le problème (je comprends rien au proba à vrai dire)


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Soit E un ensemble à n élément (n étant un entier naturel non nul)

On choisit au hasard un couple (A,B) formé de deux sous-parties de E

Soit X la variable aléatoire qui donne le cardinal de

Je dois déterminer l'espérance E(X) de X

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Ce que j'ai fait

Pour tout j'ai noté la variable qui donne 1 si et 0 sinon

alors :

Donc

or pour tout ,

c'est peut-être là que j'ai fait l'erreur parce que j'ai froidement considéré que la proba que =k est égal au nombre de partie de E à k éléments divisé par le nombre de parties de E


Puis je trouve dans ce cas que


Or le numéro uno de ma classe a trouvé n/4


Si quelqu'un peut m'aider svp.
Déjà que je déteste les dénombrements, alors mélanger proba et dénombrement (c'est plus ou moins ce qu'on fait en ce moment) ça va pas du tout. Comme par hasard, il a fallu qu'il y ait des proba l'année où j'arrive en prépa. J'ai vraiment l'impression que c'est encore un complot de l'organisation
Je vous remercie d'avance pour vos réponses

[Ben314]

Salut,
Je vais commencer par là :

Déjà que je déteste les dénombrements, alors mélanger proba et dénombrement...

tu est mal barré : la base des probas, c'est quand même le dénombrement (à cause de la formule proba=nb_favorable/nb_total qu'on utilise tout le temps dans les cas équiprobable).

Sinon, pour en revenir à ton exo., comme à peu prés la moitié des exo de proba, l'énoncé est ambigüe vu qu'il ne précise pas avec quelle loi est choisie le couple (A,B) de parties de E.

Dans ce cas, il faut en général comprendre "avec équiprobabilité", c'est à dire que chaque couple possible est équiprobable.
Comme il y a sous-parties de E, il y a couples de sous parties.

Comme souvent en proba (quand on a le temps...), c'est bien de commencer par un exemple simple :
Si n=2, donc E={a,b}, écrit toute les parties de E (il y en a 4) puis fait un tableau de 4 lignes et 4 colonnes où chaque ligne/colonne correspond à une partie et dans la case correspondant à une ligne et une colonne tu met l'intersection des deux ensembles en question (ou juste le cardinal de l'intersection).
Tu va constater qu'il y a beaucoup beaucoup plus souvent l'ensemble vide que E={a,b} tout entier.

A mon avis, pour faire le calcul du nombre de couples donnant une intersection de cardinal k, il faut scinder le calcul en deux :
1) Combien existe t'il de sous parties C de E à k éléments ?
2) Une fois la sous partie C fixée, combien existe t'il de couples de parties (A,B) telles que A inter B =C (raisonne en regardant pour chaque élément de E où il a le droit d'être : dans A ? dans B ? dans les deux ? dans aucun des deux ?)

P.S. Après calculs, le bon résultat est effectivement n/4.

[jonses]

Salut,
Je vais commencer par là : tu es mal barré

Oui je suis totalement d'accord avec toi, je suis vraiment mal barré (les proba et les dénombrements sont les matières qui m'ont posé le plus de soucis depuis le début de la primaire).


Sinon, merci pour tes indications, je vais essayer de faire déjà avec ce que tu me conseilles

[Ben314]

L'astuce pour le calcul du nombre de couples (A,B) tels que A inter B=C (où C est fixé de cardinal k), c'est de prendre les éléments de E les uns aprés les autres et de regarder où ils doivent être situés.
- Ceux qui sont dans C, y'a pas le choix, ils doivent être dans A et dans B.
- Pour les n-k autres, par contre il y a le choix, on peut les mettre dans A et pas dans B ou bien dans B et pas dans A ou bien ni dans A ni dans B : le seul truc c'est qu'il ne faut pas les mettre dans A et dans B sinon ils se retrouveraint dans l'intersection.
Donc pour chaque élément de E\C, il y a 3 possibilités ce qui fait au total possibilités.
A multiplier par le coeff. binomial correspondant au nombre de façons de choisir la partie C à k éléments dans E.
A diviser par qui est le nombre total de couples (A,B) de parties de E.

Donc

[jonses]

Bon clairement, j'aurais jamais réussi à faire ça.
En tout cas merci