Périodicité et série entière

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BiancoAngelo
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Périodicité et série entière

par BiancoAngelo » 30 Juin 2015, 00:47

Bonsoir !

J'ai une question qui me trotte dans la tête depuis pas mal de mois sans avoir pu vraiment continuer de chercher... mais je n'avais rien trouvé à l'époque. Bref !

En première année de prépa, je me souviens que notre prof nous avait fait une démonstration fastidieuse de la périodicité de la fonction cosinus (ou sinus...) à partir de sa définition en série entière.

Quelqu'un connaît-il l'essence de cette démonstration, les pistes ?

Merci !

(de retour un peu ici, ça faisait longtemps... :lol3: )



arnaud32
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par arnaud32 » 30 Juin 2015, 09:37

le plus simple c'est de partir de l'exponentielle complexe et de considerer de R dans S1
c'est un morphisme de gropupes, son noyeau est un sous groupe de R et est donc soit dense dans R soit de la forme aZ
...

BiancoAngelo
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par BiancoAngelo » 30 Juin 2015, 12:43

arnaud32 a écrit:le plus simple c'est de partir de l'exponentielle complexe et de considerer de R dans S1
c'est un morphisme de gropupes, son noyeau est un sous groupe de R et est donc soit dense dans R soit de la forme aZ
...


Salut, merci de ta réponse, mais je ne vois pas trop...
C'est quoi S1 ? Les complexes de module 1 ?

Pour ne pas avoir fait beaucoup d'algèbre ces dernières années, à quoi va me servir de connaître le noyau de ce morphisme ?

Merci !

BiancoAngelo
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par BiancoAngelo » 30 Juin 2015, 12:45

Le noyau, c'est ici, non ?

arnaud32
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par arnaud32 » 30 Juin 2015, 13:16

oui c'est une des definitions de pi

arnaud32
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par arnaud32 » 30 Juin 2015, 13:20

tout repose sur le fait que

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mathelot
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par mathelot » 30 Juin 2015, 13:55

BiancoAngelo a écrit:En première année de prépa, je me souviens que notre prof nous avait fait une démonstration fastidieuse de la périodicité de la fonction cosinus (ou sinus...) à partir de sa définition en série entière.

Quelqu'un connaît-il l'essence de cette démonstration, les pistes ?



c'est dans le "S.Lang,Analysis"

Godfrey
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par Godfrey » 30 Juin 2015, 14:12

Ou dans le Rudin "Analyse réelle et complexe"

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Ben314
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par Ben314 » 30 Juin 2015, 19:07

arnaud32 a écrit:tout repose sur le fait que
C'est aussi comme ça que je vois les chose (i.e. exp(z+z')=exp(z).exp(z') est la "clef").
Mais c'est vrai qu'ensuite, il y quelques "banalités" pas très compliquées à rajouter :
1) (car les coeff. de la série définissant exp sont réels)

donc .
2) Donc, pour tout ce qui prouve que, si on pose (définition) et alors .
On vérifie aisément (avec les séries correspondantes) que et donc et .
La fonction sinus est donc croissante au voisinage de 0.
Si elle le restait sur alors elle tendrait en +oo vers une limite et sa dérivée, à savoir tendrait vers 0. Or, dans ce cas, serait une fonction décroissante tendant vers 0 donc sa dérivée, à savoir devrait aussi tendre vers 0 : contradiction.
Donc la fonction sinus n'est pas croissante sur [0,+oo[ ce qui signifie que la fonction cos s'anulle au moins une fois et on peut considérer le plus petit réel tel que (qui existe car est fermé donc admet un plus petit élément).
On a alors donc d'où et on en déduit que les fonction sin et cos sont périodiques de période
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

BiancoAngelo
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par BiancoAngelo » 30 Juin 2015, 21:22

Eh bien, c'était bien "pire" dans ma mémoire.

Merci à tous pour vos réponses.
Merci Ben pour cette réponse très détaillée.
Je vais la recopier, cette démonstration m'est très précieuse !

BiancoAngelo
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par BiancoAngelo » 17 Sep 2015, 18:27

BiancoAngelo a écrit:Eh bien, c'était bien "pire" dans ma mémoire.

Merci à tous pour vos réponses.
Merci Ben pour cette réponse très détaillée.
Je vais la recopier, cette démonstration m'est très précieuse !


En relisant et recopiant la démonstration pour la mémoriser, je me pose une question.

Quand tu parles de l'image de {0} par à la fin, comment définis-tu la fonction réciproque de cos à ce moment précis, surtout par rapport à son ensemble de définition ?

Merci.

L.A.
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par L.A. » 17 Sep 2015, 20:01

Bonjour,

ce n'est pas l'image par la fonction réciproque, c'est l'image réciproque (l'ensemble des antécédents de 0 par cos) qui est définie même si la fonction réciproque n'est pas définie, comme c'est le cas ici.

BiancoAngelo
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par BiancoAngelo » 17 Sep 2015, 21:29

L.A. a écrit:Bonjour,

ce n'est pas l'image par la fonction réciproque, c'est l'image réciproque (l'ensemble des antécédents de 0 par cos) qui est définie même si la fonction réciproque n'est pas définie, comme c'est le cas ici.


Bonjour,

D'accord, merci.
Néanmoins, je me suis dit que si on prend les fonctions cos et sin définies sur R, alors il n'y a pas de plus petit élément à cette image réciproque, alors que ça reste l'image d'un fermé.
Voilà en fait pourquoi je ne comprends pas (même si il est évident qu'on parle ici de ce qu'il se passe sur R+, mais pourquoi la propriété s'invaliderait si on était sur R ?).

BiancoAngelo
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par BiancoAngelo » 18 Sep 2015, 16:40

BiancoAngelo a écrit:Bonjour,

D'accord, merci.
Néanmoins, je me suis dit que si on prend les fonctions cos et sin définies sur R, alors il n'y a pas de plus petit élément à cette image réciproque, alors que ça reste l'image d'un fermé.
Voilà en fait pourquoi je ne comprends pas (même si il est évident qu'on parle ici de ce qu'il se passe sur R+, mais pourquoi la propriété s'invaliderait si on était sur R ?).


Est-ce que c'est parce que la propriété utilisée ici est :
- l'ensemble est fermé
- l'ensemble est minoré par 0
=> Il y a un plus petit élément.

C'est bien ça ?

L.A.
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par L.A. » 18 Sep 2015, 22:14

Oui, dans R tout ensemble minoré admet une borne inférieure, et dans le cas d'un fermé cette borne inférieure est atteinte, c'est donc le plus petit élément.

BiancoAngelo
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par BiancoAngelo » 18 Sep 2015, 22:29

L.A. a écrit:Oui, dans R tout ensemble minoré admet une borne inférieure, et dans le cas d'un fermé cette borne inférieure est atteinte, c'est donc le plus petit élément.


Parfait, merci beaucoup.

 

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