Partition

[aure555]

Bonjour,

je n'arrive pas à prouver la proposition suivante :

{ | a A} forme une partition de A

avec la classe d'équivalence de a pour la relation R

Il faut prouver deux choses je supose :


(1) l'union des = A

(2)

mais je n'arrive pas du tout à me lancer dans cette démo

Merci pour l'aide apportée

[SergeM]

Ce que tu dois prouver en (2) n'est pas formulé assez precisement je pense. Tu dois monter que si tu prend deux classe d'équivalence [a] et [b] alors soit c'est le même ensemble soit il sont disjoints. Or:

-Si aRb, alors pour tout c dans [a], cRa (définiton) donc cRb (par transitivité) donc c appartient à [b] (définition). Donc [a] est inclut dans [b] (et reciproqument (même demonstration)). Donc [a]=[b]

-Si a et b ne sont pas en relation, alors pour tout c appartenant à [a] et pour tout d appartenant à [b] c et d ne sont pas en relation (sinon par transitivité aRb). Donc [a] et [b] sont disjoints.

[regis183]

bonjour aure,
Ba effectivement c'est presque ça
Tu peux montrer:
(1) par double inclusion (triviales)
(2) est incorrecte :briques: , c'est : [ai]<>[aj] => [ai]=[aj] (k non nulle appartient à [ai] et [aj] => ai R aj )
C'est assez facile alors bon courage

edit: d'accord avec serge

[aure555]

Merci beaucoup

Ce que tu dois prouver en (2) n'est pas formulé assez precisement je pense.

Ok c'est parce que la définition qui nous a été donnée de partition est la suivante :

Soit A un ensemble; une famille de sous-ensemble non vide de A. On dit que les forment une partition ssi

1)

2)

Pour les hypothèse il faut que les sous-ensembles soit non vide.

Ceci est vrai car pour tout on a R au moins...

Pour le premier point comme on a R, et donc on va bien recouvrir A c'est exacte?

[aure555]

bonjour aure,
Ba effectivement c'est presque ça
Tu peux montrer:
(1) par double inclusion (triviales)
(2) est incorrecte :briques: , c'est : [ai][aj] => [ai]=[aj] (k non nulle appartient à [ai] et [aj] => ai R aj )
C'est assez facile alors bon courage

edit: d'accord avec serge

Ok je viens de voir pour la 1 je vais essayer

Merci beaucoup

[regis183]

dans ta définition les Ai sont tous différents. Ici on parle de [ai] (l'index étant à l'intérieur, tous les ai sont différents, mais pas les [ai], une même classe d'équivalence étant engendrée par n'importe lequel de ses termes).

Euh je suis clair là ? :marteau: