Notion de transitivité, commutativité,...

[jklmmlkj]

Bonjour tout le monde, j'ai un problème en math.
J'ai appris de nouvelles choses mais le prof est nul et explique rien du tout donc je voudrais savoir ce qu'était:

-la transitivité, l'exclusivité : j'ignore totalement quel est le concept de ces notions mathématiques, je sais juste qu'il est question d'ordre mais c'est tout. De même pour les notations, parce que souvent, quand on parle d'un ensemble pour moi c'est par exemple R, Q, N, Z, ou C or dans un exo c'est R²={(x,y), x€R, y€R} mais que signifie le x et y?

-un groupe et un corps commutatif : j'ai du mal aussi à m'imaginer comment ça se représente et que veut dire les notations du genre (Q, +) ou (R, <=),...

Je suis un peu largué donc votre aide serait la bienvenue!
Merci d'avance!

[Nightmare]

Salut,

Déjà as-tu compris ce qu'était une relation (binaire en particulier) ? Parmi toutes les relations, il y en a des particulières qui sont les relations d'ordre, qui, comme leur nom l'indique, permette de ranger les éléments d'un ensemble.

Une relation d'ordre est une relation réflexive, transitive et antisymétrique.

Traduction avec l'exemple de la relation "être plus petit que" sur l'ensemble des humains (on peut prendre l'ensemble des réels ça revient au même) :

La relation est réflexive, ce qui veut dire qu'on est plus petit que soit même (bon, ça peut sembler bizarre, mais voit ça comme une inégalité large, sinon l'ordre est dit strict)

La relation est transitive : Si je suis plus petit que truc et que truc est plus petit que machin, alors je suis plus petit que machin

La relation est antisymétrique : Si je suis plus petit que toi et que tu es plus petit que moi, c'est que nous faisons la même taille.

Tu trouveras dans ton cours les traductions formelles de ces propriétés.

Concernant les ensembles R², c'est le plan que tu connais si bien et dans lequel tu as dû souvent t'amuser à dessiner des repères ! R² est l'ensemble des points du plan, c'est à dire l'ensemble des couples (x,y) où x et y sont des réels, c'est ce que voulait dire la définition que tu as cité. Par exemple, (1,pi) est un élément de R² (pi=3,14...)

De même R^3 est l'espace, ensemble de tous les triplets (x,y,z) où x, y et z sont dans R.

Généralement, si E est un ensemble, E^n est l'ensemble des n-uplets où chaque x_i est dans E.


Pour la suite, c'est un peu plus délicat, concrètement un groupe ou un corps ne "représente" rien, c'est juste une structure qu'on donne à un ensemble pour pouvoir faire des opérations correctes entre ses éléments (sous-entendant qui vérifient les axiomes définissant un groupe, un anneau ou un corps).

Lorsqu'on munit un ensemble E d'une opération quelconque T, on va le noter (E,T) ( (R,<=) n'est pas un ensemble munit d'une opération mais un ensemble munit d'un ordre, on dit que c'est un ensemble ordonné), où (E,T,T',...) si on a plusieurs opérations.

On ne "représente" pas un groupe ou un corps, on peut représenter l'ensemble qu'on munit de (ou des) opérations.

En espérant avoir éclairé un peu ta lanterne.

[jklmmlkj]

Ok, merci. Je n'ai jamais vu ce qu'était une relation (ni binaire) par contre.

PS: je suis qu'en première année de licence

[Nightmare]

Comment ta prof a-t-elle définie une relation d'ordre sans avoir auparavant défini ce qu'était une relation tout court ?

[jklmmlkj]

Ben c'est bien ça le problème, c'est pour ça que j'ai du mal.
Dans mon court, j'ai un phrase qui dit "Dans N, il y a une relation d'ordre, elle possède transitivité,blabla..." mais c'est tout.
Alors moi qui sort tout juste de mon petit bac S...