Nombre de tangentes qui passent pas un point

[nathanap]

Bonjour,
je suis face à un exercice qui ne m'inspire pas du tout
Je dois déterminer quel est le nombre maximal de tangentes à une fonction convexe deux fois dérivable qu'on peut mener par un point. évidemment c'est 2 mais je sais pas trop comment m'y prendre, à part peut être avec une méthode moche en considérant les coordonnées du point, les équations des tangentes etc.
Et de manière plus générale, quel est le nombre maximal de tangentes à une fonction dont la dérivée seconde s'annule n fois qu'on peut mener d'un point du plan ?
merci

[mathelot]

Bonsoir,

soit A(a;b) fixé

équation de tangente en coordonnées (X,Y) de coeff directeur m

Y=mX+p

passe par A
b=ma+p

passe par C(f)
f(x)=mx+p

tangente à C(f)
f'(x)=m

d'où
f(x)-xf'(x)+af'(x)-b=0

d'où la fonction


puis étude des variations de et TVI


si f est strictement convexe , alors f'' >0.
On discute alors si s'annule ou non :
en fait, au plus deux fois.

[nathanap]

Euh je crois que tu as confondu x et X, et puis m c'est f'(X)

Je dirais plutôt :
l'équation d'une tangente prise en X est
f(x) = f'(X) (X-x) + f(X)
et comme elle est censée passer par (a,b) on a
b = f'(X) (a-X) + f(X)
Il faut prouver que cette equation admet au plus deux solutions

On étudie donc la fonction f'(X)(a-X) + f(X) - b
Sa dérivée est f''(X) (a-X)
Or f'' est positive car f est convexe donc la dérivée est positive pour X
Par contre pour le cas général on est pas avancé ..

EDIT : tu as corrigé avant que je poste ^^"

[mathelot]

Par contre pour le cas général on est pas avancé ..

bah si, on applique le théorème de Rolle à ?

variation de

strictement croissante jusqu'au maximum
strictement décroissante ensuite

le point A extérieur doit donc etre sous la courbe
et il y a deux tangentes au plus

avec Rolle, si f'' s'annule n fois , on peut mener au plus
(n+2) tangentes

cas amusants:
1) asymptotes=tangente à l'infini
2) fonction sinus ou cosinus avec pseudo-périodicité
3) tangentes à la courbe de x --> tan(x)
4) peut on mener des tangentes "imaginaires" à la courbe
à l'intérieur du domaine convexe ?

[nathanap]

Ah oui ca marche aussi, je dis n'importe quoi dsl !
merci en tous cas, pas si inintéressant finalement cet exo