Nombre d'or

[benekire2]

Bonsoir tout le monde,
Je sollicite votre aide pour me mettre sur la voie , concernant deux démonstrations ...

Voici les deux formules en question :
1) Montrer que
2) Montrer que
Avec F la suite de fibonacci ...


Je remercie ceux qui prendront le temps de m'aider !!
Bonne soirée :happy2:

[Doraki]

T'es sur que c'est des Fn et pas des Fk à l'intérieur des sommes/produits ?
Aussi, pourquoi est-ce que phi a l'air de dépendre de n ? c'est pas plutôt des sommes/produits infinis ?

[Ben314]

Salut,
Tes notations ne sont pas terrible-terrible...
Pour le 1), le résultat est :
(c'est , il y a une limite, et dans le sigma, ce sont des et pas des )
Indication : commence par montrer que pour tout entier , on a :


Je regarde le 2) :
Il y a une limite, le produit commence à , l'exposant du (-1) est un est c'est en bas.

PREMIERE REMARQUE : si tu n'est pas familer des 'sommes' et des 'produits', écrit les (pour le moment) avec des points de suspension, l'utilisation de la symbolique 'sigma' n'est pas indispensable ici (ça racourcit juste l'écriture)

Indication Pour le 2) : commence par montrer que pour tout entier , on a :



EDIT (en fait c'est au moins le 15em edit...) : Sur la suite des Fn, certain ouvrages diverges sur les indices des deux premiers termes.
Je prend F0=0, F1=1, F2=1, F3=2, F4=3, ...
Et il y a une (jolie) raison à ça (i.e. ce n'est pas une "convention au hasard")...

[benekire2]

T'es sur que c'est des Fn et pas des Fk à l'intérieur des sommes/produits ?
Aussi, pourquoi est-ce que phi a l'air de dépendre de n ? c'est pas plutôt des sommes/produits infinis ?

pardon c'est des k ...

ce sont des sommes/prod infinis

[benekire2]

Remarque, ca sert a rien de les démontrer parce que t'as juste développer les expressions

[Ben314]

Je suis d'accord sur le premier = que j'ai écrit, il est seulement là
1) Pour montrer que, si on veut, on peut écrire les formules sans les symboles "sigma" ni "pi"
2) Pour que l'on soit bien d'accord sur qui sont les premières valeurs de la suite.

Par contre, il y a un deuxième égal à la fin des formules, et lui, ce n'est pas simplement un développement de la formule...

[benekire2]

Je suis d'accord sur le premier = que j'ai écrit, il est seulement là
1) Pour montrer que, si on veut, on peut écrire les formules sans les symboles "sigma" ni "pi"
2) Pour que l'on soit bien d'accord sur qui sont les premières valeurs de la suite.

Par contre, il y a un deuxième égal à la fin des formules, et lui, ce n'est pas simplement un développement de la formule...

effectivement j'avais pas vu la dernière partie ...

D'ailleurs si on arrive a montrer ça, c'est fini, mais alors pour y arriver ... pas une petite astuce ? :mur:

[Ben314]

Une astuce ?
Une récurence qui te conduit à une autre formule que tu démontre... par récurrence (cette deuxième formule est la même pour le 1) et le 2))

[benekire2]

je viens d'y parvenir pour la première, je vais juste tester sur la deuxième ...
en tout cas merci beaucoup

PS: j'utilise le fait que Fn-1Fn+1 +(-1)^n=(Fn)^2

[benekire2]

Et il y a une (jolie) raison à ça (i.e. ce n'est pas une "convention au hasard")...

la raison c'est qu'on peut l'exprimer de manière explicite de manière bien plus simple ...

[Ben314]

Ce dont je parlait, c'est du choix des indices par :
F0=0 , F1=1, F2=1, F3=2, F4=3, ...
et pas par
F0=1 , F1=1 , F2=2 , F3=3 , F4=5, ...
Avec la première façon de numéroter, on a le joli résultat suivant :
Pour tout n et m, le pgcd de Fn et Fm est Fd où d est le pgcd de n et m.
Par exemple, comme 5 divise 10, F5(=5) divise F10=(55)...

[benekire2]

Une question :
Comment prouver que PGCD(Fn;Fm)=F(PGCD(n;m) ???

Merci.

[Ben314]

Une des méthodes possibles :
-Tu montre que F(a+b)=F(a)F(b-1)+F(a+1)F(b) [par réccurence sur a ou sur b].
-Tu en déduit que, si n>=m, F(n)=F(n-m)F(m-1)+F(n-m+1)F(m) [en prenant a=n-m et b=m]
-En utilisant le fait que pgcd(c+kd,d)=pgcd(c,d), tu en déduit que
pgcd(Fn,Fm)=pgcd( F(n-m)F(m-1) , Fm)
-En utilisant le fait que, si pgcd(d,e)=1 alors pgcd(cd,e)=pgcd(c,e) et le fait que pgcd(F(m-1),Fm)=1, tu en déduit que
pgcd(Fn,Fm)=pgcd( F(n-m) , Fm)
-En faisant une récurence sur k, cela montre que, si n=km+r, alors
pgcd(Fn, Fm)=pgcd(Fr, Fm)
-En regardant comment fonctionne l'algorithme d'euclide du calcul du pgcd de n et m, tu en déduit que
pgcd(Fn,Fm)=F(pgcd(n,m))

Ce résultat montre en particulier que Fa divise Fb si et seulement si a divise b.

Il y a peut-être plus court comme preuve...

[benekire2]

C'est peut être pas super l'endroit mais quelqu'un pourrait me confirmer que :


Ou c'est n'importe quoi ??

PS: MErci ben !!

[Ben314]

Tel quel... c'est un peu n'importe quoi (à mon avis, c'est l'exposant de x qui est n'importe quoi)
Comme on a :

et, vu la tête de tes , il est impossible que pour tout les x d'un certain intervalle...

[Ben314]

La formule "ressemblant" à la tienne et juste (sauf erreur de calculs de ma part) est :

valable pour tout

[benekire2]

Mais justement quel est le DL de racine de x de manière générale ?

Ou alors il me suffit de remplacer x par la valeur que je veut dans ta formule ??

[Ben314]

Premièrement (là, c'est vraiment le "prof" qui parle :hum: ) ce ne sont pas des Développement Limités puisque tu ne "limite pas la taille de k" : ce sont des développement en série entière.

Sinon, pour des raisons de non dérivabilité de la fonction racine carré en 0, on ne peut pas écrire racine(x) comme une série en x^k (c'est ce que l'on apellerait un développement au voisinage de 0) par contre, on peut faire un développement au voisinage de 1 (ou de tout autre réel>0) et c'est celui que je te donne dans le post précédent : racine(1+x)=une somme (infinie) avec des x^k.
Evidement, tu peut poser y=1+x et écrire les x^k sous la forme (y-1)^k.
La formule est alors valable pour tout y dans ]0,2[.

[benekire2]

Premièrement (là, c'est vraiment le "prof" qui parle :hum: ) ce ne sont pas des Développement Limités puisque tu ne "limite pas la taille de k" : ce sont des développement en série entière.

Sinon, pour des raisons de non dérivabilité de la fonction racine carré en 0, on ne peut pas écrire racine(x) comme une série en x^k (c'est ce que l'on apellerait un développement au voisinage de 0) par contre, on peut faire un développement au voisinage de 1 (ou de tout autre réel>0) et c'est celui que je te donne dans le post précédent : racine(1+x)=une somme (infinie) avec des x^k.
Evidement, tu peut poser y=1+x et écrire les x^k sous la forme (y-1)^k.
La formule est alors valable pour tout y dans ]0,2[.

oui bien sûr développements en série entières ...

Moi je cherche en fait le développement en série de racine de 5 ...
D'où le fait que je recherche la formule général pour tout x >0 histoire de pas "lâcher" la formule comme ça

[Doraki]

Ben racine(5) c'est 2 fois racine(5/4) et lui tu peux l'avoir avec ce développement en série autour de 1.