Multiplicateur lagrange

[Raven]

Bonjour ,
je dois trouver les valeurs maximales et minimales de la fonction f(x,y)=6-4x-3y sur le cercle x²+y²=1
J'ai commencé par calculer les gradients de f et g aux points (x,y,z) et j'arrive à (-4,-3)=lambda de (2x,2y)
mais aprés je ne sais pas comment trouver les valeurs parce que j j'ai un lambda qui dépend de x et y , donc je suis bloquée , comment faire pour trouver les valeurs?


Merci

[jlb]

bonjour, l'exercice est sympa car tu peux vérifier tes résultats (valeurs approchées) géométriquement ( tu traces le cercle puis lignes de niveaux de f (droites parallèles de vecteur directeur(3,-4)), sinon tu réinjectes tes conditions dans l'équation du cercle pour obtenir des valeurs lamba envisageables.

[Raven]

comment ça : "réinjectes tes conditions dans l'équation du cercle pour obtenir des valeurs lamba envisageables."

j'isoles x et y et je les remplaces dans l'équation du cercle ? pour trouver le lambda .?
je vois pas comment on a les valeurs maximales et minimales..

[jlb]

comment ça : "réinjectes tes conditions dans l'équation du cercle pour obtenir des valeurs lamba envisageables."

j'isoles x et y et je les remplaces dans l'équation du cercle ? pour trouver le lambda .?
je vois pas comment on a les valeurs maximales et minimales..

-4a=2x; -3a=2y tu réinjectes dans l'équation du cercle:4a²+(9/4)a²=1 soit (25/4)a²=1 d'où a=2/5 ou a=-2/5 (ce sont les inverses de tes multiplicateurs de Lagrange)
Les points correspondants sont : (4/5;3/5) et (-4/5;-3/5)
tu calcules alors la valeur obtenue pour f en ces points pour obtenir ton min 1 et ton max 11. ( bon il reste un truc ou deux à vérifier pour justifier que ce sont bien des min et max: tu regardes ce qui se passent aux voisinages des points pour la fonction et pour l'arc de cercle et du coup ce sont les min et max globaux pour f restreint au compact cercle)

sinon géométriquement c'est joli et tu vois bien ce qui se passe

[Raven]

D'accord mais comment tu trouves 11 j'obtiens 1 à chaque fois?

[jlb]

d'où vient le 3/5 c'est en calculant b ?

c'est le calcul de y à partir de 2y=-3a pour a=-2/5

[jlb]

D'accord mais comment tu trouves 11 j'obtiens 1 à chaque fois?

f(-4/5;-3/5)=6 -4*(-4/5)-3*(-3/5)=... il est tard!! :ptdr:

pour la suite tu considère x=4/5 +h et y=3/5 +h'

tu calcules f(4/5+h;3/5+h')=1-4h-3h' puis tu développes (4/5+h)²+(3/5+h')² =1 ce qui te donne 5/2(h²+h'²)=-4h-3h' et par comparaison avec le premier calcul tu obtiens qu'au voisinage du point f(4/5+h;3/5=h')-1=-4h-3h'=5/2(h²+h'²)=> 0 et 1 est bien min local .

tu adaptes pour le max mais c'est le même principe.

Il te reste à expliquer que ce sont bien des min et max globaux f est continue sur compact donc ils existent et ils sont forcément à chercher parmi des extréma locaux ( en ces points tu peux trouver un arc de cercle ouvert voisinage de ces points ,ce ne serait pas le cas pour un segment et fonction ayant max en ces extrémités!!)

bon courage

[Raven]

Ok merci beaucoup pour ton aide !! :) bonne soirée