Mouvements Browniens

[kheil]

Bonjour à tous,

J'ai une petite question en calcul stochastique et plus particulièrement sur les Browniens.

Je considère le processus Xt= B2t-Bt (2t et t en indice) B brownien

Pour déterminer si oui ou non c'était un Brownien, j'ai calculé la Cov(Xt,Xs) comme ceci :

Cov(Xt,Xs)=Cov(B2t-Bt,B2s-Bs)=Cov(Bt,Bs) (En loi) (car Bt+h-Bt=Bh (En loi) , donc B2t-Bt=B(t+t)-Bt=Bt (En loi)) et donc Cov(Xt,Xs)=inf(t,s)

J'ai donc trouvé que c'était un Brownien.

Cependant, lorsque l'on fait le calcul autrement, en développant Cov(B2t-Bt,B2s-Bs) en Cov(B2t,B2s)-Cov(B2t,Bs)-Cov(B2s,Bt)+Cov(Bt,Bs), on trouve au final : inf(2t,2s)-inf(2t,s)-inf(2s,t)+inf(t,s).
Et en prenant le cas particulier : s=2t, on trouve Cov(Xt,Xs)=0 et donc ce n'est pas un Brownien.


Je pense donc que la 1ere méthode est fausse mais pourquoi ?
Une idée ?

Merci d'avance pour votre aide.

[girdav]

Bonjour,
le problème vient probablement du fait que, par exemple, quand , et sont indépendants donc non corrélés, donc la première démarche ne va pas (il peut y avoir égalité en loi mais il faut l'indépendence n'est pas préservée).