Mouvements browniens

[tennessefr]

Bonjour,

Je bloque sur une question alors j'aurais besoin de l'aide de personnes sympas et fortes en maths

Soit W un mouvement brownien et T1=1 an et T2=2 ans.
Calculer la probabilité que W(T1) soit positif et W(T2) soit négatif.

Je pense que je vais avoir besoin de trouver la densité d'un couple gaussien mais je sais plus comment faire (peut être besoin de girsanov aussi?). Un petit point de départ serait le bienvenu

Merci d'avance

[ffpower]

Je m'y connais pas vraiment en Brownien donc peut être qu'il y a des théo torchant ça directement, mais tu peux toujours poser X=B(T1) et Y=B(T2)-B(T1) qui sont indépendantes et exprimer ta proba en fonction de X et Y.

[tennessefr]

Je m'y connais pas vraiment en Brownien donc peut être qu'il y a des théo torchant ça directement, mais tu peux toujours poser X=B(T1) et Y=B(T2)-B(T1) qui sont indépendantes et exprimer ta proba en fonction de X et Y.

J'avais fait un exo il y a longtemps et de mémoire on posait un truc du genre
P(W(T1)>0,W(T2)<0).
On voulait se ramener à P(X1<A,X2<B) en faisant un changement de probabilité en utilisant girsanov avec X1 et X2 des gaussiens centrés réduits.
Puis on utilisait un théorème qui donnait la densité gaussienne du couple (X1,X2) avec son coefficient de corrélation ou sa covariance, je ne sais plus.

[ffpower]

Un vecteur gaussien est effectivement déterminer par sa matrice de covariance, que l'on pourrait calculer ici. La méthode que je te propose permet de se passer de ce fait puisqu'on se ramène à des Gaussiennes indépendantes. Je ne connais pas Girsanov mais en tout cas le calcul se fait bien à la main en exprimant le tout à l'aide des fonctions de répartitions et des lois de X et Y (edit: en fait même pas besoin: suffit de bien se représenter la surface à mesurer par un dessin et d'utiliser les symétries de la loi)

[tennessefr]

Un vecteur gaussien est effectivement déterminer par sa matrice de covariance, que l'on pourrait calculer ici. La méthode que je te propose permet de se passer de ce fait puisqu'on se ramène à des Gaussiennes indépendantes. Je ne connais pas Girsanov mais en tout cas le calcul se fait bien à la main en exprimant le tout à l'aide des fonctions de répartitions et des lois de X et Y (edit: en fait même pas besoin: suffit de bien se représenter la surface à mesurer par un dessin et d'utiliser les symétries de la loi)

Je vois pas quoi faire avec ta méthode...
X=W(1), Y=W(2)-W(1) (donc X et Y sont des gaussiennes centrées réduites.)
donc P(W(1)>0 et W(2)0 et Y<X) et après je vois pas trop quoi faire...

[ffpower]

Je vois pas quoi faire avec ta méthode...
X=W(1), Y=W(2)-W(1) (donc X et Y sont des gaussiennes centrées réduites indépendantes)donc P(W(1)>0 et W(2)0 et -Y<X) et après je vois pas trop quoi faire...

Ben après exprime ceci à partir de la loi de (X,Y)

[tennessefr]

Ben après exprime ceci à partir de la loi de (X,Y)

Mon probleme c'est que les évenements "X>0" et "Y<-X" ne me semblent pas indépendants.

[Doraki]

Si tu préfères, tu peux regarder P(|Y| > |X|), P(X > 0), P(Y < 0), et regarder si ces événements sont indépendants.