Morphisme de groupe

[helach]

bonjour est ce que je peut avoir une reponse à ce question :
g:G vers G
g(x)= x*x*x
montrer que g est un morphisme surjectif alors (G,*) est abbelien

[simplet]

Peut etre que cette remarque pourra t'aider:
quelque soit x et y de G, alors ton morphisme amene
g(xy)=xy*xy*xy et en meme temps
g(xy)=g(x)*g(y)=x*x*x*y*y*y (def d'un morphisme)

d'où xyxyxy=xxxyyy et par des operations d'inverses on arrive à
yxyxy=xxyyy
yx*yx=xx*yy le probleme de commutativité n'est pas loin...
(il rest a utiliser l'hypothèse de surjectivité sans doute..)


voila

[Galt]

J'ai aussi pensé à calculer , ce qui donne d'une part et d'autre part soit en multipliant à gauche par et à droite par x : soit encore . Comme g est surjectif, peut être n'importe quel élément de G. Reste le pb du

[Anonyme]

Salut,

Tu as presque fini : de $(xy)^3 = xyxyxy = x^3y^3$ on tire $xyxy = x^2y^2$

Comme le morphisme est surjectif, pour tout x on a $x^2y = yx^2$ en multipliant à gauche par y : $yx^2y = y^2x^2 = yxyx$ puis en simplifiant par y puis x à gauche : $xy = yx$

[Zebulon]

Bonsoir, j'obtiens également le même problème:
soient a et b appartenant à G, puis que g est surjectif, il existe x et y appartenant à G tels que et .
On a alors: ab=g(x)g(y)=g(xy) donc donc
et d'autre part donc
donc ce qui donne ou encore . Il m'énerve ce x... :mur:
Zeb.

[Galt]

De on tire
De on tire
Donc et on simplifie à gauche par y puis x
Ouf

[simplet]

je ne voit pas ou intervient l'hypothese de surjectivité dans ce raisonnnement??

[simplet]

A l'aide des raisonnement precedents on a:
aby=yba et bax=xab
d'ou ybax=yxab et abyx=ybax d'ou
yx.ab=ab.yx