Montrer que Argsh est de classe C+inf (3demo)

[Crysalide]

Bonjour/bonsoir,

Je travaille actuellement sur un exercice, où il faut montrer que argsh est de classe C+inf en donnant 3 démonstrations différentes.

Alors ma première démonstration effectuée grâce à la bijection (sh de classe c+inf et ch ne s'annule pas sur R donc argsh est de classe C+inf)

Ensuite ma deuxième démonstration, sachant argsh=ln(x + SQRT(x²+1)), alors comme argsh est une combinaison de fonction de classe C+inf alors argsh est une de classe c+inf

Parcontre une troisième démonstration je vois pas du tout vers quoi aller ... Peut être la limite du taux d'accroissement ?

Si quelqu'un peut m'aider,
Merci d'avance,
Amicalement, Crysalide

[Ben314]

Salut,
Trouver TROIS preuves (un peu différentes), c'est pas super simple...
Un truc peut être légèrement différent est d'utiliser la "formule de dérivation de la réciproque" pour montrer que f=ArgSh est dérivable et que, pour tout x, .
Ensuite, on voit que f' est dérivable et, pour tout x, .
On en déduit que f" est dérivable et que f''' s'exprime en fonction de f' et f" donc que f''' est dérivable et f'''' s'exprime en fonction de f',f'' et f''' etc...

[mathelot]

Bonjour,

c'est un peu tiré par les cheveux mais f est solution du
problème de Cauchy


y(0)=0

qui admet une solution maximale unique , de classe
ça c'est la théorie des équas diff qui le dit

De plus, comme y' est bornée par hypothèse, une telle solution maximale est définie sur (sinon inégalité du TAF)

[Crysalide]

Bonsoir,

Merci de vos réponses je vais étudié ça, sinon pour ben314, c'est ce que j'étais en train de regardé, ça confirme que je suis sur la bonne voie!

Pour mathelot, c'est vrai que c'est un tiré par les cheveux mais je vais voir aussi si on peux en tirer quelques choses, bien que je ne l'utiliserai surement pas dans mon exo, c'est toujours drôle de voir si on peux démontrer les choses en utilisant des astuces pas courantes... Enfin bref!

Passez une bonne soirée,
Amicalement, Crysalide.