Mini question

[Cryptocatron-11]

Juste une petite question : est ce vrai qu'une matrice est un vecteur ?

[Blueberry]

Tout dépend de ce que tu appelles vecteur.
En général cela désigne un élément d'un espace vectoriel, donc effectivement on peut toujours dire qu'une matrice est un vecteur.

[Le_chat]

Une matrice sur un corps K de taille n est un élément de Mn(K), qui est un K-ev, donc une matrice est un vecteur de Mn(K).

[Cryptocatron-11]

Vous etes sur que n'importe quelle matrice peut être considérée comme un vecteur ?
Car j'ai lu ça

Les vecteurs sont des tenseurs d'ordre un. Les matrices sont des tenseurs d'ordre deux et les matrices d'une application linéaire transformant les vecteurs en forme linéaire constituent une forme particulière de vecteurs, appelées aussi bivecteurs.

[Skullkid]

Comme l'a dit Blueberry, tout dépend du contexte. Le mot "vecteur" n'a pas de définition à proprement parler, à part "élément d'un espace vectoriel". Donc n'importe quel élément d'un ensemble qu'on peut munir d'une structure d'espace vectoriel (c'est-à-dire tout ou presque) peut être appelé "vecteur".

Après, il y a des espaces vectoriels "classiques", et l'espace des matrices carrées d'ordre n à coefficients dans un corps en fait partie. Le fait pour un ensemble d'être un espace vectoriel c'est une question de structure, ça n'a rien à voir avec la nature des éléments de l'ensemble. Quand on dit que les matrices sont des tenseurs d'ordre 2, c'est toujours dans un certain contexte.

[Cryptocatron-11]

OK merci pour vos réponses

[Cryptocatron-11]

Et c'est quoi la différence entre une matrice colonne à 3 lignes et un vecteur de R^3 ? C'est la même chose non ?

[Nightmare]

Salut,

la différence, c'est leur rôle : Une matrice représente une application linéaire, un vecteur c'est un vecteur.

Mais comme on te l'a déjà dit, selon le contexte, tel objet peut jouer tel rôle ou tel autre, et pourra porter deux noms différents.

En maths, quand deux "objets" s'écrivent pareil mais ont une définition a priori différente, sauf cas rare, c'est que ces deux objets peuvent être identifiés l'un à l'autre, souvent sous l'effet d'un transfert de structure via isomorphisme. C'est le cas ici, il s'avère que l'espace des matrices colonnes à 3 lignes est canoniquement isomorphe à R^3, ce qui peut expliquer qu'on les note de la même façon, même si fondamentalement ce sont deux objets qui ont un rôle différent.

Attention, il y a aussi des cas pathologiques de notation mathématique où les objets ne s'identifient pas du tout, l'exemple que j'ai en tête est la notation de la combinaison de n parmi p, qui en Europe se note de la même façon que le vecteur de coordonnée (n,p) qui pour le coup n'est pas du tout le même objet...