Mesure

[Louise2607]

Bonjour,
De manière générale comment justifie t'on qu'une fonction est mu-integralble si mu est une mesure abstraite ( inconnue )

Par exemple comment justifier que int((x²-x)^(2n),R+,mu) existe pour tout n, où mu est une mesure sur la tribu borelienne de R+ ??

Merci d'avance de vos réponses

[Ben314]

Bonsoir,
Ton énoncé me laisse perplexe...
Il me semble que, pour la première mesure qui me vienne à l'esprit, celle de Lebesgue, et le premier entier qui me vient : n=1, l'intégrale n'existe pas (au sens ou l'intégrale est infinie)....

[Nightmare]

Salut !

Louise2607 > Il ne faut pas confondre "être intégrable" et "admettre une intégrale" :lol3:

Notre intégrande, en tant que bonne fonction positive et continue sur R+ y est mesurable et on peut donc définir son intégrale (qui prend éventuellement une valeur infinie). Par contre, comme le dit Ben314, elle n'est pas intégrable puisque son intégrale n'est pas finie.

[Louise2607]

oui merci nightmare et ben 314, j'ai peut etre été peu rigoureux.
De plus je justifie mon erreur , il s'agit d'intégrer sur 0 1 , la fonction (2x²-1)^(2n) pour une mesure quelconque définie sur la tribu borélienne de 0 1.

Ce qui m'embête plus précisement, c'est comment montrer que cette intégrale à un sens, sachant que l'on ne connait exactement la mesure???
Merci

[Ben314]

Ce que t'as expliqué nightmare, c'est que, comme la fonction est continue, et positive, elle est mesurable et donc on peut donner un sens à l'intégrale (que ce soit sur R_+ ou sur [0,1]) mais la valeur de l'intégrale risque d'ètre infinie (et, en général, dans ce cas on dit que f n'est pas intégrable).
Le fait que l'intervalle soit [0,1] ne change pas le problème : on peut facilement trouver des mesures sur [0,1] telles que l'intégrale soit infinie.
Pour étre sûr que l'intégrale soit finie, il faut un minimum d'hypothèse sur la mesure. Ici, par exemple, si mu([0,1]) est fini, l'intégrale est (évidement) finie...