Mesure et intégration

[legeniedesalpages]

Bonsoir,

je bloque sur cet exercice:

Soit un ensemble mesurable de -mesure finie et soit une suite de fonctions réelles intégrables sur et convergeant uniformément sur vers une fonction .

Montrer que est intégrable sur et que

[CENTER] et [/CENTER]

Je pense qu'il faut utiliser le théorème de convergence dominée, mais je ne vois pas vraiment comment dominer les .

Merci pour vos indications.

[tize]

Bonjour,
donc

[legeniedesalpages]

Bonjour,
donc

Bonjour Tize, c'est ce que j'étais en train de penser aussi, seulement ça ne me dit pas que f est intégrable sur A, non?

[busard_des_roseaux]

Bonjour Tize, c'est ce que j'étais en train de penser aussi, seulement ça ne me dit pas que f est intégrable sur A, non?

f est mesurable comme limite de fonctions mesurables et intégrable sur A car:

[legeniedesalpages]

f est mesurable comme limite de fonctions mesurables et intégrable sur A car:

Je suis d'accord, et je meure d'envie d'utiliser le fait que "f est mesurable car limite de fonctions mesurables sur A".

Mais ce résultat n'a pas été dit dans ce cours.
Les fonctions mesurables sont d'ailleurs définies après les fonctions intégrables, et les ensembles mesurables sont définies à partir des fonctions mesurables. Je suis totalement dérouté.

Ca a pas l'air vraiment commun comme plan de cours.

[legeniedesalpages]

Ah, j'avais pas vu, mais il y a apparemment une proposition qui pourrait servir:


Soit une suite décroissante de fonctions positives intégrables sur (à valeurs dans ).

Alors cette suite de fonctions tend simplement sur vers une fonction positive et cette fonction f est intégrable sur avec:

[CENTER][/CENTER]

[legeniedesalpages]

à ce moment là je peux peut être utiliser cette proposition avec le fait que

f est limite simple de et du fait que:

[legeniedesalpages]

ce qui est rigolo, c'est qu'il définit des fonctions mesurables et intégrables comme son collègue en probas (j'ai deux matières de théorie de la mesure ce semestre mais présentées très différemment) mais aussi des ensembles mesurables et intégrables.

[legeniedesalpages]

bon après quelques triturages, j'arrive seulement à montrer que |f| est intégrable sur A.

Si je suis ton plan busard, il va falloir que je montre que et est mesurable, et ça va faire long avec ces définitions speill'ce, je doute que le prof attend ce genre de démarches dans l'exo.

Edit: les défintions:

une fonction définie -pp sur à valeurs dans est mesurable si il existe une suite de fonctions en escaliers tendant -pp sur vers .