Mesure et intégration: supremum essentiel

[legeniedesalpages]

Bonjour,

après avoir défini le supremum essentiel, on se propose de justifier sa notation par la propriété suivante:

[CENTER].[/CENTER]

Pour le montrer on commence par se reposer sur cette proposition (a) déjà montrée:

Pour toute fonction mesurable .


Soit . Au vu du point (a), il suffit d'établir que .

En outre, on peut supposer que . Il vient , d'où pour tout ,

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et partant .

Finalement, . D'où le résultat.

C'est ce dernier point où j'ai du mal à suivre, je ne saisis pas pourquoi le fait que entraîne que .

Merci pour votre aide.

Edit: la définition qui est rappelée un peu avant du est

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[alavacommejetepousse]

bonjour

la limite sup c 'est la plus grande valeur d'adhérence (façon plus agréable )
notons la L

à r fixé pour phi(p) une extraction telle que
ll f ll phi(p) - > L
puisque phi(p) - > +infini

r / phi(p) - > 0 et le premier terme du produit tend vers 1 donc
L = < ll f ll infini

[legeniedesalpages]

ah oui, vu comme ça c'est plus clair, merci :)