Mesurable

[zork]

Bonjour

soit f:R-->R croissante. Montrer que f est mesurable

soit c dans R je dois montrer que f^(-1)(]-oo,c[) dans B(R)

je cherche à montrer que f^(-1)(]-oo,c[) est connexe qui me donnerai que c'est un intervalle car on est dans R
Mais je n'y arrive pas. Comment faire?


merci

[arnaud32]

considere le sup de f^(-1)(]-oo,c[)
que peux tu dire de y tel que y

[zork]

pourquoi prendre le sup?

[raph107]

Pour moins d'encombrement on pose I =f^(-1)(]-oo,c[
I est un intervalle ssi pour tous a et b appartenant à I, l'intervalle [a;b] est inclus dans I, autrement dit, si x appartenant à [a;b], alors x appartient à I. f est croissante donc le résultat est immédiat.

Une autre variante proposée par arnaud32:
On pose b = sup(I)
I est un intervalle ssi pour tout a appartenant à I et pour tout x appartenant à [a;b[, x appartient à I.

[zork]

je n'ai pas du tout compris ce qu'on faisait
on cherche à montrer que [a,b]=f^(-1)(]-oo,c[)?

[raph107]

je n'ai pas du tout compris ce qu'on faisait
on cherche à montrer que [a,b]=f^(-1)(]-oo,c[)?

on cherche à montrer que pour tous a et b appartenant à f^(-1)(]-oo,c[),
l'intervalle [a,b] est inclus dans f^(-1)(]-oo,c[)

[zork]

d'accord ca c'est bon

mais pourquoi cela fait il que f^(-1)(]-oo,c[) est un intervalle?

[arnaud32]

ca prouve que c'est connexe par arc ...

[zork]

je connais connexe mais que veut dire connexe par arc?

[adrien69]

Salut, autre version, en mode marteau piqueur.

Si l'on restreint ta fonction à [-a,a], et si l'on regarde l'ensemble des points de discontinuités de ta fonction restreinte, cet ensemble est fini car f restreinte est croissante. Donc la fonction restreinte est mesurable. Or f est limite simple monotone (croissante) de tes fonctions restreintes, donc finalement f est mesurable.
CQFD.

C'était juste pour donner une version (inutilement) pédante de la preuve.
Voilà voilà !