Matrices sym étriques

[sad13]

Bonsoir , j'ai un problème avec un exercice de Polytech ds le livre Ed Cassini "exercices oraux X ENS" algèbre 3 page 33 pr ceux qui ont le livre:

Distance d'une matrice à l'espace des matrices symétriques:

Soit S l'espace des matrices symétriques réelles de taille n et A=(ai,j) 1<=i,j<=n dans Mn(R)

Déterminer inf pour M dans S de la Somme pr 1<=i,j<=n (ai,j - mi,j)²

1ère Méthode:

Ils donnent une 1ère méthode formelle que je comprends bien sauf à sa fin où ils affirment : que
A-H = (A-tA=)/2. Il en résulte que : d(A,S)²= 1/4*Somme 1<=i,j<=n ((ai,j - aj,i)²)

2de Méthode
Puis ils donnent une autre méthode élémentaire(d'après eux) où l'on se ramène à minimiser le trinôme
(x-a_ij)²+(x-a_ji)² pour i=/=j

J'ai beau me casser la tête mais je ne comprends comment le x_0 minimum de cette fonction nous donne le résultat demandé , merci beaucoup

[girdav]

Concernant la première méthode, je ne sais pas qui est H, donc je ne peux pas me prononcer. Pour ce qui est de la seconde, on s'occupe des coefficients extradiagonaux. Comme m_{i,j}=m_{j,i}, on doit trouver le m_{i,j} optimal.

[sad13]

M =(m_ij) appartient à S

la seconde n'est pas trop évidente et j'ai du mal, pr la première ils utilisent le fait qui S et A sont des supplémentaires et orthogonaux(A ss-espace des matrices antisymétriques réelles de taille n ) et que H=(A+At)/ 2 puis disent : " il en résulte que d(A,S) ² =1/4..... (cf ce que j'ai écrit au premier post)


merci beaucoup

[girdav]

Oui, en fait on peut associer un produit scalaire à cette norme, et on projette la matrice sur l'espace des matrices symétriques, puis on calcule la distance à ce projeté.

[sad13]

voilà très bien , j'ai compris ce passage sauf que la transition à la dernière ligne de calcul me trouble:

H=A+tA /2

A-H = (A-tA=)/2.

Il en résulte que : d(A,S)²= 1/4*Somme 1<=i,j<=n ((ai,j - aj,i)²)

[girdav]

H est le projeté, puis on calcule la distance entre la matrice A et son projeté.

[sad13]

très bien merci beaucoup mais comment surgit ce 1/4 etc