Matrices, Suites, et récurrence

[Ritalesmio]

Bonsoir, je planche actuellement sur un problème que je ne réussis pas à résoudre :

Soit une matrice A = 2 3 3 ; inversible et (A^-1) = (1/8)(A-7I)
3 2 3
3 3 2

On sait que A² = 7A + 8I

Je dois montrer que an et bn existent telles que : quel que soit n appartenant à N : A^(n) = anA+bnI

Je me suis lancer dans une récurrence qui fonctionne (avec a0 = 0 et b0 = 1) mais c'est au niveau de l'hérédité que cela coince.

A(n+1) = A^(n) * A
= (anA + bnI) * A

A partir de là je ne réussis pas à progresser, je pense pourtant avoir suivis le bon chemin pour résoudre le problème.
De plus je dois ensuite déterminer an et bn selon une relation de récurrence, et je vous avoue ne pas savoir comment m'y prendre.

Merci d'avance pour votre aide.

[fatal_error]

tu t'es pas servi de A² = 7A + 8I

(anA + bnI) * A = anA^2+bnA
le but c'est d'identifier un truc style a(n+1)A+b(n+1)I

[Ritalesmio]

En fait si je l'ai fait mais ça donne :

an*(7A + 8I) + bnA ; ça complique les choses je trouve (ou alors je n'aperçois pas la solution)

[fatal_error]

ben identifie avec I et A, c'est comme quand t'identifies avec X et X^2, sauf que là, c'est I et A.