Matrices orthogonales et déterminant

[guillaume100]

Bonjour,

Je fais un exo dans lequel il faut montrer que si A est une matrice carré réelle, B aussi, et M est la matrice suivante réelle, où toutes les matrices sont carrées.




Sachant que M est orthogonale dans Mn(R), comment montrer que det(A^2)=det(D^2)


j'ai pensé à tM*M=Identité ce qui donne que A*tA+B*tB=Identité(p)
C*tC+D*tD=Identité(p)
C*tA+D*tB=0
A*tC+B*tD=0

Quelqu'un a une astuce svp ?

[Carpate]

Phrase peu claire :

M est la matrice suivante réelle, où toutes les matrices sont carrées.

Et en plus M n'intervient pas dans ton exercice ....

[aviateur]

Bonjour à celui qui arrive à démontrer cela!
Prend la matrice Identité d'ordre 2n !!!

[aviateur]

Je pense que c'est

[guillaume100]

Oui merci @aviateur ! C'est bien Det(A^2)=Det(D^2), j'ai mal tapé

M c'est la matrice que j'ai tapé, elle est constituée de A,B,C, et D qui sont des matrices carrées à coefficients réels @Carpate

[aviateur]

Bonjour
Supposons que A est inversible.
On a de : avec

D'où

On en tire

Maintenant
Multiplions par

On en tire alors

Supposons que A ne soit pas inversible. Mais alors si D était inversible on pourrait le même travail en échangeant les rôles de A et D et on aurait
D est donc non inversible et l'égalité reste vraie.

[aviateur]

Bonjour
ça ma fait penser à : montrer que

[guillaume100]

Salut,

Merci beaucoup pour l'explication !

Cependant, pourquoi det(I +tU*U)=det(I+U*tU)??

[aviateur]

Les deux matrices sont transposées l'une de l'autre

[Ben314]

Les deux matrices sont transposées l'une de l'autre

Hummm, j'ai des doutes...
(l'égalité des déterminants est vrai mais ce n'est pas le bon argument)

[aviateur]

Bonjour
Effectivement elles ne sont pas symétriques l'une de l'autre :
Mais elles sont symétriques, ce qui n'est pas la même chose!!!!

Alors l'argument correct c'est que les matrices et ont le même spectre.
Ajouter l'identité ne change rien. Le déterminant étant le produit des valeurs propres avec leur ordre de multiplicité.

Pour comprendre cela soit A et B deux matrices, a un réel qcq de sorte que
soit tq

On a alors donc

Si on prend a=0 et c'est fini.
Sinon les deux polynômes sont égaux pour presque tout a donc pour a=0 (argument de continuité).

[guillaume100]

Ah ouais merci !!

Sinon en utilisant la densité des matrices inversibles ça marche avec la continuité du déterminant.