Matrices orthogonales positives

[Leo20]

Bonsoir,

Je suis actuellement en train de chercher un exercice dont l'objectif est de montre que pour tout , l'espace vectoriel engendré par est exactement .

J'ai pour cela démontré quelques résultats préliminaires :

(ensemble des matrices antisymétriques),

(ensemble des matrices symétriques)

Il me reste donc simplement à montrer la dernière étape, le résultat principal : l'espace vectoriel engendré par est exactement

J'ai pensé pour cela qu'il serait intéressant de montrer que , et en décomposant une matrice réelle quelconque en la somme d'une matrice symétrique et d'une matrice antisymétrique pour montrer que la seule matrice qui soit orthogonale à toute matrice de est la matrice nulle.

Mais ce raisonnement ne semble pas conduire au résultat souhaité (ou en tout cas je ne vois pas comment le faire aboutir).

Pensez-vous que je suis sur la bonne piste, ou faudrait-il que je choisisse un autre point de départ pour montrer ce résultat ?

Merci d'avance pour vos réponses.

[Aispor]

Perso je n'ai jamais vu de telle preuve utilisé ce genre d'argument ^^' (que le vect =0)

[aviateur]

(ensemble des matrices antisymétriques),

Bonjour
ça me laisse perplexe. Tu as une démonstration, s'il te plait?

D'autre part, quand on parle d'orthogonal d'un sous espace cela sous entend qu'il y a un produit scalaire. Alors en toute rigueur tu devrais préciser le produit scalaire en question.

[Leo20]

Bonsoir,

Pour ce qui est du produit scalaire, j'ai oublié de le préciser mais il s'agit de .

Et pour la démonstration du résultat intermédiaire, j'ai tout d'abord démontré que en montrant que et en utilisant les formules classiques pour l'exponentielle ( en particulier). Cela permet donc de montrer que est orthogonale.

Pour ce qui est de l'appartenance à , j'ai utilisé la formule , qui conduit à .

SI tu souhaites que je détaille un peu plus un point particulier de cette démonstration, je peux le faire. En revanche j'ai peu de doute sur ce résultat : il s'agit d'un résultat intermédiaire donné dans l'exercice, provenant d'une source tout à fait sérieuse.

[aviateur]

Rebonjour
Pour l'instant je n'émets aucun doute sur le résultat. En fait je n'ai pas encore réfléchi.
Ce que je fait simplement c'est de voir si ta démonstration (pour l'instant incomplète) est correcte. C'est bien ta demande.
Une remarque: exp(À) pour a antisymetrique semble bien orthogonale positive mais :

blalbla
et en utilisant les formules classiques pour l'exponentielle ( en particulier).

ça me gène de voir ça pour justifier une démo car c'est faux.

Mais surtout ce qui me gêne au départ et que je n'ai pas dit, c'est en quoi ce résultat est utile dans la démonstration.

[aviateur]

Bonjour
J'ai regardé, le résultat est vrai et une démonstration élémentaire est possible.
Mais avant tout je reste curieux de savoir à quoi sert ton histoire de exp(A).