Matrices, changement de base ...

par **goudou** » 20 Déc 2009, 15:38

Bonjour à tous !
Je suis actuellement en train de faire un exercice d'annale sur les réductions d'endomorphisme, et je ne retrouve pas la même chose que dans le corrigé. J'ai du faire une erreur idiote, mais j'ai beau refaire mon calcul, je ne la trouve pas !

Soit A la matrice
( 1 -1 0)
(1 0 -1)
(-1 0 2).

1) Factoriser le polynôme caractéristique.
Je trouve bien comme dans le corrigé (1-X)^3 !

2) Déterminer les sous espaces propres et caractéristiques de A.
Le soucis vient du sous espace propre, je trouve le vecteur (1;0;1) et dans le corrigé, ils trouvent (1;-1;1).
Pour le caractéristique, je trouve bien R^3.

3) J'ai ensuite énormément de difficulté à me représenter la suivante :
Démontrer qu'il existe une base de R^3 dans laquelle la matrice de f est B=
(1 1 0)
(0 1 1)
(0 0 1)

par **Nightmare** » 20 Déc 2009, 15:49

Salut !

Effectivement A(1,-1,1)=(2,0,1) donc (1,-1,1) n'est pas vecteur propre. Par contre le tient l'est !

par **Nightmare** » 20 Déc 2009, 15:53

La 3) c'est de la trigonalisation, tu dois déjà avoir vu la méthode non?

Le cours te dit que ta matrice est trigonalisable (son polynôme caractéristique est scindé) et que dans un certaine base, sa matrice est triangulaire avec des 1 sur la diagonale. Reste à boucher les trous au dessus, pour cela, le cours te dit aussi des choses sur la base d'arrivée (par rapport aux vecteurs propres par exemple).

par **goudou** » 20 Déc 2009, 16:26

Oui la trigonalisation je l'ai déjà vue !

Dans le corrigé, ils n'appliquent pas cette méthode (enfin je crois).
Ils disent "le vecteur u1 vérifie Au1=u1, on cherche un vecteur u2=(x,y,z) tel que Au2=u1+u2, et on cherche ensuite u3 tel que Au3=u2+u3".
Je sais maintenant l'appliquer, mais bêtement, car je ne vois pas pourquoi on fait ça =S

par **Nightmare** » 20 Déc 2009, 16:29

Eh bien regarde ta matrice, on cherche bien une base (u1,u2,u3) dans laquelle l'endomorphisme f associé à A vérifie : f(u1)=u1 (première colonne de la matrice), f(u2)=u1+u2 (deuxième colonne) et f(u3)=u2+u3 (troisième colonne).

par **goudou** » 20 Déc 2009, 16:45

Oui mais ce que je ne comprends pas, c'est pourquoi f(u1) doit être égal à u1. Pourquoi ne peut on pas dire f(u1)=e1, f(u2)=e1+e2, etc ...
Je narrive vraiment pas à me représenter ce changement de base =/

par **Nightmare** » 20 Déc 2009, 16:50

C'est quoi pour toi la matrice d'un endomorphisme dans une base? Ca veut dire quoi que dans une certaine base la matrice de ton endomorphisme vaut :
(1 1 0)
(0 1 1)
(0 0 1)

?

Ca veut bien dire que les coordonnées des images des vecteurs de la nouvelle base ont pour coordonnées dans cette même base respectivement (1,0,0) , (1,1,0) et (0,1,1) non?

par **goudou** » 20 Déc 2009, 17:29

Okay, je saisis mieux la chose :)

La suite de la question est "trouver une matrice inversible P telle que A=PBP^-1"
Si j'ai bien compris, P est la matrice telle que en colonne on ait u1, u2, et u3, avec les u1, u2 et u3 trouvés précédement ?

par **Nightmare** » 20 Déc 2009, 17:32

P est simplement la matrice de passage de la base canonique à notre nouvelle base (u1,u2,u3).

par **goudou** » 20 Déc 2009, 17:41

Et on ne peut pas résumer en disant que ce sont les u1, u2 et u3 en colonne ? Car sur 2 exos ayant le même type de questions, je retombe 2 fois sur ça ?!

par **Nightmare** » 20 Déc 2009, 17:50

Eh bien pourvu que tu aies exprimé u1, u2 et u3 dans la base (e1,e2,e3) oui !

par **goudou** » 20 Déc 2009, 18:08

D'accord ! Merci beaucoup pour l'aide :)

Matrices, changement de base ...

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