Matrice, récurrence

[juju78]

Bonjour

On note I3 la matrice idendité et 03 la matrice nulle de taille 3. par ailleurs on note les coefficients binomiaux.

On considere

Determiner la matrice J telle que A= I3 + J
je trouve



On me demande alors de calculer J²
je trouve




On me demande ensuite d'en déduire, pour tout n dans N*, en fonction de J et n


On remarque que l'on a




Mais je ne vois pas comment établir une relation?

[Nightmare]

Bah tes nombres sont les puissances successives de 3 non?

[nuage]

Salut,
ton premier calcul donne
On a donc

etc...

[juju78]

a oui effectivement , merci

On a ensuite :

Montrer qu'on peut trouver deux réels x et y tels que

A² - xA + yI3 = 03

mais là c'est pareil je vois pas par ou commencer?

[nuage]

Une méthode possible :

on développe le produit et on remplace par
on reporte le tout dans la relation demandée
la suite est facile

[juju78]

pour calculer A² on ne peut pas faire :


?

Au lieu de faire I² + 2JI + J² ?

[nuage]

C'est la même chose.
Au passage JI=J

[juju78]

Mais je peux aussi tout simplement faire

[nuage]

Bien sur.
Disons que la méthode que je te propose permet de trouver x et y sans faire trop de calculs. Et en particulier sans effectuer de produit de matrices.