[DM] matrice et evolution d'un organisme

[Lenesiah]

Bonjour,
sans plus attendre, je vous donne le DM et son énonce ...


On etudie un organisme cellulaire infeste par un parasite, chaque cellule infestee accueillant
exactement un parasite.
On observe l'organisme a intervalles de temps réguliers, et on s'intéresse a l'evolution au cours du
temps des nombres de cellules saines et de cellules infestées : on note S(k) le nombre de cellules saines
et I(k) le nombre de cellules infestées.
Lorsqu'une cellule infestée se divise, elle donne naissance a une cellule saine et une cellule infestée
(le parasite restant dans l'une des deux cellules filles).
La reproduction des parasites conduit a la libération de nouveaux parasites qui vont immédiatement
infester une cellule saine. Lorsqu'un parasite meurt, la cellule qui l'accueillait redevient saine.
Entre deux instants successifs :

{ une proportion Ds = 60% de cellules saines se divisent ;
{ une proportion Di = 40% de cellules infestees se divisent ;
{ le taux de mortalite naturelle des cellules saines est de Ms = 0; 35 ;
{ le taux de mortalite des cellules infestees est de Mi = 0; 5 ;
{ le taux de reproduction des parasites est de Pr = 0; 45 ;
{ le taux de mortalite des parasites est de Mp = 0; 3 ;
{ le systeme immunitaire de l'organisme elimine e = 15% des cellules infestees ;
{ une proportion p = 50% de cellules saines sont infestees par des parasites venus de l'exterieur.


1.- On note N(k) = (S(k)) . Montrer, en explicitant soigneusement le
(I(k))
raisonnement, que ces hypotheses conduisent a l'equation N(k + 1) = AN(k), avec

A = (1 + Ds - Ms - p // Di - Rp + Mp )
( p // 1 - Mi + Rp - Mp - e)

Quelle est la valeur de la matrice A si l'on prend les valeurs numeriques donnees plus haut ?
Comment peut-on exprimer N(k) en fonction de N(0) ?


2.- On etudie ici la matrice A. Pour simplier les calculs, on notera B = 4A.

a.- Montrer que si X est un vecteur tel que BX = muX, alors AX = lambdaX, pour un lambda que l'on reliera a mu. En deduire que si l'on dispose d'une base qui diagonalise B alors la m^eme base diagonalise aussi
la matrice A.

b.- Calculer les valeurs propres de B et montrer qu'elle est diagonalisable.

c.- Diagonaliser la matrice B : expliciter les matrices de passage U et U1 de la base usuelle vers
une base de diagonalisation de B, et donner la matrice diagonale U1BU obtenue. En deduire une
diagonalisation de A.

d.- Calculer Ak pour tout k.


3.- Calculer N(k) en supposant que le nombre de cellules saines au temps k = 0 est egal a S0, tandis
que le nombre de cellules infestees est nul.


4.- On note n(k) le nombre total de cellules de l'organisme.

a.- Exprimer n(k) en fonction de k et de S0.
Que devient l'organisme en presence du parasite ? (croissance, decroissance, stabilisation)
L'organisme meurt si la proportion de cellules infestees depasse les trois-quarts. Que se passe-t-il
dans notre cas ?

b.- On suppose maintenant que l'organisme n'est pas en presence du parasite (toutes ses cellules
sont saines, il n'y a pas d'infestation), et on note toujours n(k) le nombre de ses cellules. Exprimer
n(k+1) en fonction de n(k), et en deduire n(k) en fonction de k et du nombre de cellules n0 a l'instant k = 0.
Quel est l'eet du parasite sur l'evolution de l'organisme ?


Voilà, alors, je sais que ça fait beaucoup, cependant j'ai vraiment besoin de votre aide, autant pour la réalisation du DM que pour la comprehension de la methode ... j'ai rejoind la fac en cour d'année pour des raisons de santé et je suis totalement largué a ce niveau

en esperant une aide de votre part ...

[Finrod]

{ une proportion p = 50% de cellules saines sont infestees par des parasites venus de l'exterieur.

C'est la condition initiale ça normalement. Sinon il y a contradiction avec le taux de reproduction des parasites et le fait que les nouveau nés intègre immédiatement des cellules saines. Ce qui fixe déjà la proportion de cellules infestée par tour à 45% du nb de parasites...

-> après relecture, l'énoncé se contredit bien et Pr, le taux de natalité des parasites n'est pas utilisé dans le résultat de la question 1, donc il faut l'ignorer et prendre le p=1/2. C'est pas top pour la cohérence.


1 - il faut faire étape par étape en examinant les dépendances.

2 - cours - n'hésite pas à poser une question si tu n'es pas à l'aise sur cette méthode.

3,4 - applications numériques