Matrice - calcul de puissance de A

par **Azuriel** » 20 Fév 2007, 16:30

Voila mon probleme,
J'ai une matrice A defini par les membres de sa diagonales kisont égaux à b chacun, et sinon pour tout les autres Ai,j , les Ai,j sont égaux à a.

En gros ma matrice à cette tronche (à part que dans l'exo elle appartient à Mn(k))

b a a a
a b a a
a a b a
a a a b etc

On me demande de calculer A puissance m avec m entier naturel mais je ne vois vraiment pas comment faire..Je sais pas si decomposer cette matrice en une identité et l'autre que avec les a peut me servir...

Merci d'avance !

par **BQss** » 20 Fév 2007, 16:39

Azuriel a écrit:Voila mon probleme,
J'ai une matrice A defini par les membres de sa diagonales kisont égaux à b chacun, et sinon pour tout les autres Ai,j , les Ai,j sont égaux à a.

En gros ma matrice à cette tronche (à part que dans l'exo elle appartient à Mn(k))

b a a a
a b a a
a a b a
a a a b etc

On me demande de calculer A puissance m avec m entier naturel mais je ne vois vraiment pas comment faire..Je sais pas si decomposer cette matrice en une identité et l'autre que avec les a peut me servir...

Merci d'avance !

Toute matrice commute avec l'dentité.
decompose ca en (bI + A)^n grace au binome de Newton...

Ps: et tu peux meme decomposer la matrice de diagonale nulle A en B +tB avec B une matrice triangulaire superieure de "a".

par **fahr451** » 20 Fév 2007, 20:12

bonsoir

dans le même esprit mais plus immédiat

A = (b-a) I + a J

où J est la matrice pleine de 1 , J^2 = nJ et J^p = n^(p-1) J pour p>0

puis formule du binôme

par **Azuriel** » 21 Fév 2007, 14:25

Merci beaucoup, j'étais pas sur qu'une decomposition pouvaient servir mais dans ce cas particulier je me disais que peut etre oui. Merci en tout cas.
D'ailleurs j'ai un autre exo qui me pose probleme sur mon TD de matrice, mais que j'avais delaissé mais j'en profite pour vous le sortir au cas où, je ne crois pas que ça soit difficile mais c'est juste que cet exo me derange..je ne dois pas vraiment bien partir. Le voici :

Soit E = {l'ensemble des matrice A apartenant à Mn(K) tel que tout Ai,j > 0 et pour TOUT i , Sum(j=1 à n)Ai,j = 1 }

Montrer que E est stable par multiplication
Determiné les matrices inversibles de E dont l'inverse est egalement dans E.

Merci d'avance !

par **fahr451** » 21 Fév 2007, 14:36

pour le début il suffit d écrire le coefficient cij du produit AB

cij = sigma aikbkj avec A et B dans E les aik bkj >0 donc cij >0
et
sigma(sur j) cij = sigma( sur j et k ) aik bkj =
sigma (sur k ) aik sigma (surj) bkj = sigma (sur k) aik = 1

donc C est dans E

par **Azuriel** » 21 Fév 2007, 15:02

Merci beaucoup, ce qui me posait probleme était surtout pour le fait que la somme soit bien égal à 1.

Sinon pour l'exercice précedent, tu arrives a quoi comme résultat apres avoir calculer, simplifier le binome puis remis sous une forme..
Moi j'ai ça mais ça me parait bizarre :

A^m = [a((b-a) + an)^m-1 ]xJ + [(b-a)^m]/n x J

:hein:

par **fahr451** » 21 Fév 2007, 15:36

il y a forcément un terme en I qui vaut (b-a)^m I

par **Azuriel** » 21 Fév 2007, 15:44

Ba oui c'est celui que j'ai sorti qui est divisé par n..
Je te detailles le calcul et tu me dis là où jai fai une erreur..

A^m = Sum(k=0..m)(k parmi m) [(b-a)I]^k x [aJ]^m-k
A^m = Sum(k=0..m)(k parmi m) (b-a)^k x [aJ]^m-k car I^q = I car I^k=I quel que soit K..donc cela revient juste a multipler par un scalaire la matrice J
A^m = Sum(k=0..m)(k parmi m) [(b-a)I]^k x a^(m-k) x n^(m-k-1) x J
A^m = Sum(k=0..m)(k parmi m) [(b-a)I]^k x a^(m-k) x n^(m-k-1) x J
Et mince, là je ne sais plus comment faire pour continuer ça car je voulais refaire apparaitre un binome mais vu que j'ai pas la meme puissance pour a et n je peux pas,j'avais fais un changement de variable en sortant le m-ieme terme mais en fait ça ne marche pas a cause du (k parmi M)..
Comment jfais ?

par **fahr451** » 21 Fév 2007, 15:51

attention
J^(k) = n^(k-1) J uniquement pour k>0

il faut sortir de la somme k = 0

le détail

A^(m) =
sigma (k= 1 , m) (k parmi m) a^k n^(k-1) (b-a)^(m-k) + (b-a)^m I

on remet un terme en k = 0
pour faire apparaitre le binôme avec an et b-a

A^m = (1/n) sigma (k = 0 , m) (k parmi m) (an)^k (b-a)^(m-k) J -
(1/n) (b-a)^m J +(b-a)^m I =

(an +b-a)^m J /n +(b-a)^m J/n +(b-a)^m I

par **Azuriel** » 21 Fév 2007, 16:03

Ah daccord merci beaucoup, tu as juste oublier de reporter un signe moins de lavan derniere ligne à la derniere pour le terme en k=0 qu'on avait rajouté.

Pour trouver une CNS sur a et b tel que A soit inversible et que notre calcul permettent de calculer cette inverse, mieux vaut repartir de A=(b-a)I +aJ...mais je trouve quelque truc evident mais je ne sais pas comment trouver TOUTES les matrices inversibles..faut il utiliser alors ce qu'on vient de demontrer ?

par **fahr451** » 21 Fév 2007, 17:30

pour a = b

A = aJ

A^2 = a^2 n J = anA

et si A était inversible en simplifiant par A (multiplier parA^(-1) ) on aurait

A = na I ce qui n'est pas

pour a différent de b

trouve une équation de la forme :

A^2 + alpha A +beta I = 0 avec beta non nul
donc A ( A+alphaI) /beta = I ce qui prouve A inversible d inverse (A+alphaI )/beta

Matrice - calcul de puissance de A

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