Calcul puissance d'une matrice

[Maths-ForumR]

Bonjour,
Je n'arrive pas à résoudre ceci :

Soit A une matrice carré d'ordre n où les coefficients diagonaux valent a et tous les autres valent b.
a et b sont réels

Calcule A^n

Faut il décomposer A comme : A= a.IdN + b B avec B la matrice où les coefficients diagonaux valent 0 et tous les autres valent b ?
Je ne vois pas comment continuer

Merci

[jlb]

Essaie plutôt avec A =(a-b)I_n et bB où B a tous ses coefficients égaux à 1

[chan79]

Bonjour
juste une idée de départ
Soit la matrice d'ordre remplie de 1 sauf la diagonale remplie de 0. On écrira pour .
On trouve que



On pose

on remplace








UN EXEMPLE:

avec a=3, b=4 et n=5 la matrice ci-dessus devient



vecteurs propres (1,1) et (-4,1) associés aux valeurs propres 19 et -1




on trouve



donc

on peut généraliser le calcul ....
les valeurs propres sont (a-b) et (a-b+bn)

[Razes]

Essaie plutôt avec A =(a-b)I_n et bB où B a tous ses coefficients égaux à 1

, matrices d'ordre , matrice unité

Calcule , en déduire

Utilise le binôme de Newton pour calculer à partir de

[aymanemaysae]

Bonjour;

Essaie plutôt avec A =(a-b)I_n et bB où B a tous ses coefficients égaux à 1

On a : j'ai remis le B que j'ai oublié à sa place.

Supposons que pour .

On a donc ,

donc .

On a pour ,

et









.

Edit: Solution rectifiée suite aux remarques de M. Ben314 .

[Ben314]

Supposons que .

... donc .

BRAVO : ça c'est de la sacré déduction.

Que tu continue à systématiquement donner les solutions des exos. "prêtes à l'emploi", j'ai fini par considérer que c'était pas mon problème : je suis pas modérateur et c'est pas à moi de faire respecter la charte.
Mais par contre, si tu considère que le seul travail devant être fourni par les étudiants pour leur D.M., c'est de recopier ta prose, il me semble que le minimum, ça serait que tu te relise pour éviter les monstruosités telles que celle ci dessus, non ?

[aymanemaysae]

Bonjour,

même si vos propos sont très sévères envers moi, j'ai un grand estime pour vous, et je profite toujours de votre présence pour corriger les monstruosités dont je connais le secret de les produire.

Ce serait vraiment gentil si vous me précisiez mes fautes: c'est un moyen pour progresser.

[Ben314]

Parce que là, en plus, tu ne voie même pas où est la "monstruosité" ?????

Donc je te la refait en bref :

Supposons que la propriété P est vraie (P propriété absolument quelconque)
(laïus...)
Et on en déduit que la propriété P est vrai.

Y'a rien qui te perturbe ?

P.S. : Perso, c'est surtout le fait de mettre un quelconque laïus entre les deux qui me fait marrer....

[aymanemaysae]

Bonsoir;

J'espère que vous serez patient avec moi, mais il y a des fois que je suis capable des pires des bêtises (monstruosités ici) , mais c'est de bonne foi , comme je suis capable du meilleur. De plus je ne suis pas d'un orgueil maladif, et je sais dire à un Professeur que je n'ai pas compris quand vraiment je n'ai rien compris.

D'abord, je vous remercie pour le terme "laïus" que j'entends pour la première fois. j'ai cherché et j'ai trouvé qu'entre autres définitions ça voulait dire : parler beaucoup pour ne rien dire: pour rire, vous ne m'avez pas vu à l’œuvre, surtout que je suis un adepte de Schopenhauer.

Ensuite, je pense que ma bêtise est si grosse que je n'arrive pas à la voir: je pense que ça consiste l'application de la méthode de récurrence que je ne maîtrise pas encore.

Encore une fois Merci, et un autre Merci si vous daigner me montrer avec une loupe ma bêtise, sinon j'aurai peur d'user de la récurrence dans la futur.

[Lostounet]

Bonsoir,

Aymane, il est vrai que tu donnes de plus en plus systématiquement des solutions toutes faites. Je te demanderais donc de ne plus le faire: il est bien plus souhaitable de ne pas donner une solution entièrement rédigée et ce, je puis me le permettre, même si tu estimes personnellement que la discussion est "terminée".

Cordialement

[chan79]

donc

on peut généraliser le calcul
les valeurs propres sont (a-b) et (a-b+bn)

Pour les nombres sur la diagonale de , on trouve

Pour les autres nombres:

Je suppose que ça correspond au résultat obtenu avec l'autre méthode.

[Razes]

Bonsoir tout le monde,

@aymanemaysae,
Quand j'ai donné ma réponse, je me suis dit "j'ai donné trop d'indications, je n'avais pas à parler du binôme de Newton", car je voulais laisser Maths-ForumR un peu de travail, car dans son message il demandait juste une indication pour débloquer la situation.

Je sais que tu n'es pas de mauvaise foie, j'apprécie tes démonstrations rigoureuses et en plus tu es un adepte de . Ça m'arrive de rédiger comme tu le fais (j'aime bien aussi) mais généralement quand toutes les idées sont présentes dans les messages de façons disparates et qu'il faut tout regrouper pour tout synthétiser.

Je te souhaite bonne continuation et des message comme celui de Ben314 sont aussi les bienvenus pour recadrer les choses.

[Kolis]

Bonsoir !
Autre idée : à partir de on a

d'où polynôme annulateur de .
Pour ce polynôme est scindé à racines distinctes (A est alors diagonalisable)
Et la division euclidienne permet, par calcul de (en utilisant les racines connues de ) d'obtenir .
Pour il y a moins de calculs.