Longueur d'une courbe

[Anonyme]

Bonjour à tous,

Je sollicite votre aide pour ce petit problème :

Je possède un tableau de valeurs cartésiennes (x et y) de la représentation graphique d'une fonction inconnue.(il s'agit de relevés GPS de la trajectoire d'un mobile).

Je souhaite calculer la longueur de la courbe obtenue. (En réalité, je souhaite connaître la distance parcourue par un mobile sur cette trajectoire en fonction d'un nouveau couple (x,y) donné).

Est ce possible ?
(formule de Jordan, Cauchy, abscisse curviligne, je suis un peu perdu !)
Si oui, quelqu'un aurait-il une solution à proposer ?

En vous remerciant par avance,
A bientôt !

[Anonyme]

Peut être d=integrale de t1 a t2 de ||f'(t)||dt

[evilangelium]

bonjour

je crois me souvenir que

L(a,b) = int( ;)(1 + f ' ² (t))*dt ,a,b)
représente la longueur d'une courbe entre les abscisses x=a et x=b


vu dans un livre de term

[Alpha]

Salut,

Si tu as l'expression de la fonction dont la courbe est la représentation, alors effectivement la longueur entre a et b (a
Mais ici, apparemment, tu ne possèdes pas l'équation de la fonction. Je n'ai pas bien compris quelles étaient les données que tu possédais. Peux-tu les préciser davantage? Merci


;)

[Anonyme]

Bonjour,

Merci tout d'abord pour les premières réponses apportées.

Concernant mes données, en effet, mon principal problème vient du fait que je ne possède pas l'équation de la fonction.

Je possède un tableau de valeurs (x, y) de positions successives, et je sais que la fonction est continue (trajectoire).

C'est tout ce que je possède...

Je ne pense pas pouvoir réaliser de régression sur la courbe obtenue, assez complexe, donc j'ai bien peur de ne pas pouvoir obtenir l'équation de la fonction.

Voilà, merci pour votre aide

[thomasg]

à partir de ton tablrau de valeurs tu dois pouvoir obtenir une fonction approchante à l'aide d'une interpolation polynômiale (c'est à dire trouver un polynôme qui soit très proche de la fonction recherchée).
L'intégration est alors simple.

Peux-tu nous donner quelques valeurs ?

Au revoir.

[cesar]

j'ai une solution qui vaut ce quelle vaut, mais qui est valable si la suite des X est assez "dense", et si la difference entre deux X à la suite n'est pas trop grande :
il faut determiner avec une erreur aussi petite de possible les valeurs de la derivée de f(x) et ensuite appliquer la formule donnée par Alpha
L = int (racine (1+f'(x)^2)*dx, a, b)

numerotons les X : X1,X2,...X(n-1),Xn,X(n+1),... par ordre de valeur croissante pour X
on a
f(x(n+1)) = f(xn) + (x(n+1)-xn)f'(xn) + (x(n+1)-xn)^2/2*f''(xn)+.....
et
f(x(n-1)) = f(xn) + (x(n-1)-xn)f'(xn) + (x(n-1)-xn)^2/2*f''(xn)+.....

si l'on neglige le 3eme ordre on a (je vous fais grace des calculs) :

f'(xn) = [((x(n-1)-xn)^2*(f(x(n+1) - f(xn)) -(x(n+1)-xn)^2*(f(x(n+1) - f(xn)))]/[((x(n+1)*(x(n-1)-xn)^2- (x(n-1)-xn)*(x(n+1)-xn)^2 ]

mais cela n'est juste que si le 3eme ordre est negligeable....

une fois que l'on a tabulé la fonction f', le reste est facile.

PS : la formule se simplifie considerablement si les X sont à intervalles reguliers.
dans ce cas f'(xn)= [f(x(n+1))-f(x(n-1))]/[2*(x(n+1)-xn)] avec x(n+1)-xn = xn-x(n-1).
Si ce sont les y qui sont à intervalles reguliers, on peut faire le même coup avec les Y...

[Anonyme]

Merci beaucoup, en effet, la suite des X et celle des Y sont toutes deux denses (positions GPS). La solution que vous proposez est d'autant plus intéressante qu'elle permet une résolution numérique et générique du problème (vive Matlab !).