Longueur d'arc d'une courbe paramétrée

[novicemaths]

Bonsoir

Si j'ai bien compris, voici la formule pour calculer la longueur d'un arc paramétré.



Voici un exercice d'application.



Sur l'intervalle t=-1,2 et t=2,2





Donc l'intégrale est:








Est-ce que le résultat est correct ?

A bientôt

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Cette ligne est farcie d'erreurs. Reprends ce calcul du carré de la norme de avec plus de soin. Et n'oublie pas en suite quand tu calcules l'intégrale que le carré de la norme, ce n'est pas la norme !

[Black Jack]

Bonjour,

x = f(t) = 1,4t²+3,4t-1,9
y = g(t) = 1,7t³-0,9t+1,2

f'(t) = 2,8t + 3,4
g'(t) = 5,1t² - 0,9

f'²(t) + g'²(t) = (2,8t + 3,4)² + (5,1t² - 0,9)²
f'²(t) + g'²(t) = 7,84t² + 11,56 + 19,04t + 26,01t^4 + 0,81 - 9,18.t²
f'²(t) + g'²(t) = 26,01t^4 - 1,24t² + 19,04t + 12,37



L = 27,0367

[novicemaths]

Bonsoir

J'ai oublié d'utiliser l'identité remarquable.

J'ai refait les calculs.












A bientôt

[Black Jack]

Bonsoir

J'ai oublié d'utiliser l'identité remarquable.

J'ai refait les calculs.












A bientôt

C'est faux.

entre autres : (5,1 t^2-0,9)^2 n'est pas égal à (26,01t^4-9,18t+0,81)

[novicemaths]

Dois je utiliser le binôme de Newton.

Et j'ai oublié de faire la primitive.

A bientôt

[Black Jack]

Bonjour,

Tu dois commencer par ne pas faire d'erreurs dans les calculs simples.

Comme je te l'ai dit : (5,1 t^2-0,9)^2 n'est pas égal à (26,01t^4-9,18t+0,81)

on a : (5,1 t^2-0,9)^2 = (26,01t^4-9,18t²+0,81)

Et donc f'(t)² + f'(t)² = (2,8t+3,4)² + (5,1 t^2-0,9)^2

f'(t)² + f'(t)² = (7,84t² + 19,04t + 11,56) + (26,01t^4-9,18t²+0,81)

f'(t)² + f'(t)² = 26,01t^4 - 1,34t² + 19,04t + 12,37

Et donc

Ce n'est pas facile de résoudre cela analytiquement ... mais n'importe quelle calculette décente ou logiciel (même un mini tableur avec Excel par petits incréments) peut la calculer ...

Et on trouve : L = 27,015 (arrondi)

Mini différence avec ma réponse précédente ou j'avais entré un "1,24.t²" au lieu d'un "1,34t²"

[novicemaths]

Bonsoir

Merci !!

Il va falloir que je revois ce type de calculs.

A bientôt

[novicemaths]

Bonjour

voici un nouvel exercice.











Est-ce que les premier calcul sont corrects ?

Pour la suite des calculs avec l'intégrale. Dois je faire la primitive de Donc ?

Où faire comme ci-dessous ?










A bientôt

[Black Jack]

Bonjour

voici un nouvel exercice.











Est-ce que les premier calcul sont corrects ?

Pour la suite des calculs avec l'intégrale. Dois je faire la primitive de Donc ?

Où faire comme ci-dessous ?










A bientôt

Bonjour,

Tu fais des erreurs partout, en commençant par déjà mal écrire les équations de départ.

Je présume que c'est : x = 1,6t³ + 2,3t + 8 (mais ce n'est pas cela que tu as écrit)

Pour la 2ème équation : y = -0,8t² + 1,9u - 1,1
C'est quoi u ? (une erreur d'écriture ? ou une fonction de t (si oui laquelle), ou une constante ?)

[novicemaths]

Bonsoir

C'est bien x, y ci-dessous.




Je ré-essais de faire les calculs.











Est-ce que une primitive de f'(t)+g'(t) est

A bientôt

[azf]

Bonjour

mais c'est le carré de la norme tandis que vous cherchez à calculer la norme pour la longueur de votre arc

pour la réponse à votre question : c'est oui on dirait à vu d'oeil mais le problème n'est pas là

pour calculer l'intégrale à mon avis il faut utiliser une méthode particulière : par substitution trigo

[Black Jack]

Bonsoir

C'est bien x, y ci-dessous.




Je ré-essais de faire les calculs.











Est-ce que une primitive de f'(t)+g'(t) est

A bientôt

C'est :

et pas ce que tu as écrit.

Ensuite, pour calculer :


C'est, comme déjà écrit dans un de mes messages précédents très difficile (voire impossible ?) de résoudre en trouvant une expression analytique d'une primitive et ...

Mais, comme déjà dit, il existe une multitude de logiciels pour calculer l'intégrale définie.
La plupart des calculettes (non basiques) peuvent le faire aussi.

Par un ce ces logiciels (ou calculettes), on trouve : L = 23,0148 (unités de longueur)

Remarque, les 2 logiciels et la calculette que j'ai utilisés se cassent les dents pour chercher une primitive de l'expression donnée (ce qui ne m'étonne pas), mais les 2 logiciels et la calculette donnent sans soucis la valeur de l'intégrale définie (ce qui ne m'étonne pas non plus).