Loi Normale

[elodieM]

Bonjour,

J'ai X qui suit une loi normale de paramètres 10 et 4 N(10 ; 4).
On me demande de calculer, sur un échantillon de 25 personnes, la probabilité que la variance soit comprise entre 2 et 6. Je ne sais pas du tout comment faire.
Pouvez vous m'aider ?? Merci !

[Sylviel]

Bonjour,

as-tu vu la loi du Chi^2 ? Si oui tu dois pouvoir exprimer la loi de la variance de l'échantillon.

[LB2]

Bonjour,

4 est-il l'écart type ou la variance de ta loi normale? A priori je dirai la variance, mais l'autre convention existe.

Ensuite, la question est légèrement mal posée : il s'agit de calculer la probabilité de "la variance empirique dans l'échantillon est comprise entre 2 et 6".

On peut montrer en exercice que la variance empirique, notée S^2, est une v.a. constituant un estimateur biaisé et convergent de la vraie variance, asymptotiquement sans biais.
Plus précisément, dans le cas d'une loi normale centrée réduite, alors n * S^2 est une v.a. suivant une loi de chi deux à n-1 degrés de liberté.

Ici, en réduisant la loi, on a donc que 25/4*S^2 suit une loi de chi deux à 24 degrés de liberté.
On peut facilement, en lisant la table de la loi du chi deux sur la bonne ligne, calculer la proba que 25/4*S^2 soit compris entre 25/4*2 et 25/4*6, et conclure.

@Sylviel : nos messages se sont croisés!

[elodieM]

Bonjour et merci pour vos réponses.

Oui j'ai vu khi 2, et en lisant mon cours, je comprends que je dois m'en servir, mais je n'ai pas assez de détails dans mon cours alors j'ai du mal à comprendre.
J'ai cette formule :
((n-1) *S² )/ Variance suit X² (n-1)
Je retrouve un peu ce que tu dis LB2
Je comprends que n =25 , variance =4...

[LB2]

C'est effectivement la formule qu'il faut utiliser

[elodieM]

Jai alors 24*S²/4 suit X²(24), donc 6 S² suit X²(24)
Et la je ne sais pas quoi faire...
Comment trouver la proba que S² soit inférieur a 6 ? et 2?
Ensuite, a quoi sert la moyenne de notre loi normale ?

[elodieM]

12 < P(6S²)<36 = 0.95 - 0.025 = 0.925
Est ce cela ?

Ensuite, je dois calculer la probabilité que la variance soit inferieur à 4. Insctinctivement, je dirais 0.5...
Mais en calculant je ne trouve pas tout a fait ca, je trouverais 0.5 en prenant 6S² suit X²(25) au lieu de 24...

[LB2]

Jai alors 24*S²/4 suit X²(24), donc 6 S² suit X²(24)
Et la je ne sais pas quoi faire...
Comment trouver la proba que S² soit inférieur a 6 ? et 2?

En utilisant par exemple cette table :
http://www.math.univ-metz.fr/~bonneau/S ... mplete.pdf

à la ligne ddl = 24

[elodieM]

Je crois que nos messages se sont croisés..
Merci pour la table tout de même