Loi de groupe sur G/H

[simplet]

Je trouve un truc bizzare...

Soit pi:G->G/H la projection canonique et on pose pi(x)pi(y)=pi(xy).
Puis la démo dit que pour que ce soit une loi de composition cohérente, il faut que si on a x',y' dans G tels que pi(x')=pi(x) et pi(y')=pi(y) alors on doit avoir pi(x'y')=pi(xy) !

Mais pour moi c'est EVIDENT puisque pi(x'y')=pi(x')pi(y')=pi(x)pi(y)=pi(xy) !!!

Moi pas comprendre....

[nox]

Puis la démo dit que pour que ce soit une loi de composition cohérente, il faut que si on a x',y' dans G tels que pi(x')=pi(x) et pi(y')=pi(y) alors on doit avoir pi(x'y')=pi(xy) !

Moi pas comprendre....

"il faut" ou "il faut et il suffit" ?

[yos]

Ben justement, c'est l'égalité du milieu pi(x')pi(y')=pi(x)pi(y) qui est nécessaire pour la cohérence de la loi.
La démontrer revient à montrer que pi(x'y')=pi(xy).

[simplet]

bah... puisque pi(x')=pi(x) et pi(y')=pi(y).. alors pi(x')pi(y')=pi(x)pi(y) !! non??!!

[yos]

C'est pas le cas a priori! Il faut le vérifier pour que ta loi soit bien définie.
Je te propose l'exemple suivant :
On prend définie par . Et on définit la loi * sur par . S'agit-il d'une loi bien définie?

[simplet]

Mais ici ton f:R->R n'est pas un morphisme, si? f(x)f(y) est différent de f(xy) ?

Et deuxièmement je ne comprend pas trés bien ce qu'est une loi "bien définie" ??

On a supposé qu'il y avait une strucure de groupe sur G/H et que pi:G -> G/H était un morphisme. Normalement tout marche bien dans le meilleur des mondes! J'avoue que je ne comprends pas trés bien...

[GaussFutur]

Je m'incruste mais quand tu parles de G/H c'est bien un groupe quotien non ?

[simplet]

oui oui, d'élément xH où x est dans G

[GaussFutur]

Ne serait ce pas une histoire de relation d'equivalance :

pi(x)pi(y) = pi(xy)

et avec :
il faut que si x' et y' appart/ à G et p(x')Rp(x) p(y')Rp(y) alors p(x'y')Rpi(xy)

???

[simplet]

moi tarzan toi jane :ptdr:
non sans blague je crois que t'es allé assez vite, tu n'voudrais pas détailler par rapport à ma question précédente stp??

[GaussFutur]

La relation d'equivalance qui stipule que xRy ssi xy^-1 appart à H.
Le quotient de G/R se note alors G/H (R est sous entendu !!) .

mais il peut exister des groupe tel que : pi(xy) ne soit pas equivalent à
pi(x'y') alors que c'est le cas pour pi(x) et pi(x') (resp. pi(y) et pi(y') )

Je cherche un exemple...

[simplet]

oui mais justement ce que je n'comprend pas c'est qu'on à supposé que POUR TOUT x,y dans G on avait pi(x).pi(y)=pi(xy), et donc pour x' et y' quels qu'ils soient .

Ce que je ne comprend pas c'est que si a=a' et b=b' pourquoi on n'aurait pas a.b=a'.b' ???????????????

ce que dit YOS embête mes neuronnes qui pensaient avoir un minimum compris la théorie des groupes :-) ...

[GaussFutur]

je pense avoir un exemple mais je dis là peut etre une betise....je l'ai vait à la va vite on va dire... :

soit x R y ssi rac( x + y ) appart à N (si la racine de la somme appart aux entiers naturels)

soit x R x' et y R y' on a muni G de la multiplication usuelle :

rac ( x + x') * rac ( y + y' ) = rac ( (x+x')(y+y') ) = rac ( xy + xy' + x'y + x'y')
different de rac ( xy + x'y' ) ce qui implique pas l'appartenence à N (c'est rarement la cas avec les racines) donc :
x R x' et y R y' n'impliquent pas forcément xy' R yx' ....
Et donc en utilisant un peu d'effort on peut comprendre l'état de pi.

[abcd22]

On a un ensemble G/H formé de classes d'équivalences, et on veut le munir d'une structure de groupe. Comme G est un groupe et qu'on a une surjection de G dans G/H, on se dit qu'on va utiliser la surjection pour obtenir un élément de G à partir d'un élément de G/H, puis faire le produit dans G puis retourner dans G/H. Donc si , il existe tels que , on décide de définir une loi sur G/H par , mais a priori le produit a.b qu'on obtient dépend du choix de x et y, et ce qu'il faut montrer c'est justement que ça ne dépend pas de ce choix, et on utilise le fait que H est distingué dans G pour ça.
Une fois qu'on a montré que le produit était bien défini c'est facile de montrer que G/H a une structure de groupe et que est un morphisme de groupes (évident par définition du produit dans G/H).

[GaussFutur]

ah d'accord, c'est dans ce sens que partait l'indication de la définition....

[abcd22]

Et deuxièmement je ne comprend pas trés bien ce qu'est une loi "bien définie" ??

Ça veut dire qu'elle est définie sans ambiguïté, si tu choisis a et b il y a un seul résultat possible pour a*b, ce n'est pas le cas pour la loi proposée par Yos.

On a supposé qu'il y avait une strucure de groupe sur G/H et que pi:G -> G/H était un morphisme. Normalement tout marche bien dans le meilleur des mondes! J'avoue que je ne comprends pas trés bien...

Justement non, on cherche à construire une structure de groupe sur G/H telle que soit un morphisme de groupes, c'est ce que j'explique dans mon post précédent.

[simplet]

Ah d'accord j'ai compris, il faut que le produit d'éléments de G/H soit égal pour deux éléments égaux de G/H mais il faut vérifier que c'est bien le cas même quand leur antécédents dans G sont différents (mais donnent la même classe). (c'est bien ca??)

Ce que je ne comprend pas c'est que si a=a' et b=b' pourquoi on n'aurait pas a.b=a'.b' ??????????????? que la réciproque soit fausse je comprendrais ma dans ce sens là...
...

On ne peut dire ca que si la loi est cohérente (c'est le cas dans un groupe mais ici ce n'en est pas encore). Voyons ca par la définition (car elle est tout de même définie) de la loi:
a'.b'=pi(x').pi(y')=pi(x'.y') = pi(x.y)=pi(x).pi(y)=a.b

il faut pi(x'.y')=pi(x.y) !! Ce qu'il faut montrer...


Je crois que je fonctionnais à l'envers: je prenais non pas pi(x).p(y)=pi(xy) mais pi(xy)=pi(x).pi(y) et dans ce sens là on a bien a'.b'=a.b quand a=a' et b=b' n'est-ce pas??? Ce qui m'embete alors c'est qu'on a une EGALITE qui ne fait pas de "distinction" (si je peux m'exprimer ainsi) entre le membre de gauche et le membre de droite...

[abcd22]

Oui c'est ça :happy3:
Tu peux écrire , ou un autre signe distinctif pour bien faire la différence, mais c'est vrai que c'est à celui qui écrit le livre de penser à le faire normalement.