Loi de composition

[legeniedesalpages]

Bonsoir, je bloque sur cet exercice:

Soit un ensemble muni d'une loi de associative possédant un élément neutre.

Soient deux éléments inversibles de .
Si et sont permutables, et sont permutables qels que soient les entiers rationnels et .

Donc on veut montrer que pour tous inversibles et tels que , pour tous , .

En premier lieu je pensais montrer que pour tous inversibles et tels que ,
on a pour tout on a (et là je bloque pour montrer que cette propriété est vérifié pour strictement négatif)

Comme ça, je peux montrer que



Et en itérations déduire le résultat.

Merci pour votre aide.

[cesson]

bonjour

Comme x et y sont inversibles xy aussi et (xy)^-1 = y^-1x^-1 xy =yx implique que (xy)^-1 =(yx)^-1 soit x^-1y^-1 = y^-1x^-1 et voila pour passer au cass m et n <0

[Flodelarab]

Et si on pose Y=y^n et X=x^m ?
On a Y \in E, X \in E, on peut les intervertir et la solution coule de source.

Ai je oublié qqchose ?
La loi n'est pas une loi de composition interne ?

[legeniedesalpages]

ok merci, mais flodelarab qu'est-ce qui nous dit que X et Y sont permutables?

[legeniedesalpages]

[quote="cesson"]bonjour

Comme x et y sont inversibles xy aussi et (xy)^-1 = y^-1x^-1 xy =yx implique que (xy)^-1 =(yx)^-1 soit x^-1y^-1 = y^-1x^-1 et voila pour passer au cass m et n 0[/TEX] comment montrer que et sont permutables ?

[legeniedesalpages]

Je crois que j'ai trouvé:



donc ,

ie

d'où

[Flodelarab]

ok merci, mais flodelarab qu'est-ce qui nous dit que X et Y sont permutables?

car X et Y appartiennent à E ....
et la loi est une loi de composition interne associative.

[kazeriahm]

non floderalab, la loi n'est pas supposée commutative

la multiplication matricielle n'est pas une loi commutative, bien qu'interne et associative

[Flodelarab]

non floderalab, la loi n'est pas supposée commutative

Ah oui pardon

[legeniedesalpages]

Un autre problème où je bloque:

Sur l'ensemble , on considère la loi de composition .
Quand deux éléments sont-ils permutables?

Je pense que ça doit être quand mais je ne vois pas comment le justifier. :hein:

[ThSQ]

C'est donc qd x^y = y^x c'est donc quand x=y ou que x=2 et y=4 ou y=4 et x=2 (exo olympique classique).

[SimonB]

C'est donc qd x^y = y^x c'est donc quand x=y ou que x=2 et y=4 ou y=4 et x=2 (exo olympique classique).

Qu'on voit aussi à l'X, et qui se résout soit joliment mais de manière compliquée avec de l'arithmétique... soit avec la (taupinale) étude de la fonction ln(x)/x

[legeniedesalpages]

exo olympique, de l'X

Salut ThSQ et SimonB.

aïe, c'était pas dit ça, je l'ai trouvé dans un bouquin de maths classique de première année.

Vous n'auriez pas un petit canevas?

[legeniedesalpages]

oups désolé, j'avais pas bien lu ton post SimonB. Je vais regarder ça.

[legeniedesalpages]

les maths c'est aux jeux olympique aussi? :hein:

[legeniedesalpages]

ok je commence à voir pour la méthode avec le logarithme, je dois trouver une méthode plus élémentaire je pense, le logarithme est défini beaucoup de chapitre plus loin.

:triste:

[SimonB]

les maths c'est aux jeux olympique aussi? :hein:

On parlait des olympiades, je pense.

[ThSQ]

une méthode plus élémentaire

Y'a au moins deux façons de torcher le truc :

1) Etudier (ou ln(x)/x) pour voir que f(3) > f(2) = f(4) > f(5) > ... > f(1) = 1

2) Si y > x alors . est entier donc y/x aussi : y = k*x
Mais dès que k > 2.

[legeniedesalpages]

ok merci ThSQ,

je vais regarder plus en détail la méthode 2), pour la méthode 1) c'est ok.