Limite d'une constante (?)

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Hyp
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Limite d'une constante (?)

par Hyp » 25 Fév 2008, 23:14

Bonsoir à tous.

La question peut paraître très idiote bien que j'en aie la réponse, mais je voudrais m'en assurer.

Peut-on parler de limite sans faire intervenir de variable ?

Plus clairement, est ce que lim a = a (en n'importe quel voisinage de x, et avec a un réel fixé) a une signification mathématique ?

Je pense qu'il est plus rigoureux d'écrire que lim x quand x tend a est égale à a.

Et la limite précédente n'aurait pas de signification, car pour a=5 et par exemple (et au voisinage de 0) , on aurait que pour tout ;)>0, il existe ;) pour lequel (|x|<;) , 5<= ;)), ce qui est absurde pour ;)=1.

Edit: C'est archi-faux, il y'a aucune confusion.

Y'a t-il une explication plus concrête que cela ?

Merci de votre réponse :we:



uztop
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par uztop » 25 Fév 2008, 23:32

Bonsoir,

tu peux dire que lim a = a quand x varie dans n'importe quel voisinage.
Dans ce cas, au voisinage de 0, et pour a =5 si tu veux
il existe ;) pour lequel (|x|<;) , a-a<= ;))
Vu que a-a = 0 , ;) peut être aussi petit que tu veux ...
Mais je ne vois pas trop l'intérêt de considérer cette limite

Hyp
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par Hyp » 25 Fév 2008, 23:38

uztop a écrit:Bonsoir,
tu peux dire que lim a = a quand x varie dans n'importe quel voisinage.


Euh maintenant que j'y pense il y'a un problème au voisinage de l'infini, car lim a+ x*0 aboutirait à une indétermination.

uztop a écrit:il existe ;) pour lequel (|x|<;) , a-a<= ;))


Je comprends pas ce passage, je pense même que c'est incorrect.

Lierre Aeripz
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par Lierre Aeripz » 25 Fév 2008, 23:40

Quand on parle de limite, c'est une limite de fonction.
Effectivement, la limite d'une constante n'a pas de sens, mais on peut toujours considérer les fonctions constantes !

Hyp
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par Hyp » 25 Fév 2008, 23:46

Lierre Aeripz a écrit:Quand on parle de limite, c'est une limite de fonction.


Ou d'une application, comme les suites.

Lierre Aeripz a écrit:Effectivement, la limite d'une constante n'a pas de sens, mais on peut toujours considérer les fonctions constantes !


Et comment rédiger la définition rigoureuse dans ce cas ?

Lierre Aeripz
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par Lierre Aeripz » 25 Fév 2008, 23:50

Les applications ne sont pas des fonctions ?

Je ne comprend pas où se trouve ton problème de rigueur...

Hyp
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par Hyp » 25 Fév 2008, 23:53

uztop a écrit:Bonsoir,

tu peux dire que lim a = a quand x varie dans n'importe quel voisinage.
Dans ce cas, au voisinage de 0, et pour a =5 si tu veux
il existe ;) pour lequel (|x|<;) , a-a<= ;))
Vu que a-a = 0 , ;) peut être aussi petit que tu veux ...
Mais je ne vois pas trop l'intérêt de considérer cette limite


Ah oups, c'est plutôt moi qui avais tort :briques:

Nan c'est évident finalement, j'avais très mal écrit la définition moi même. Il m'arrive d'en faire de ces sottises :mur:

Hyp
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par Hyp » 25 Fév 2008, 23:54

Lierre Aeripz a écrit:Les applications ne sont pas des fonctions ?


Pas du tout. Du moins, pas forcément.

Lierre Aeripz
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par Lierre Aeripz » 26 Fév 2008, 00:02

Hyp a écrit:Pas du tout. Du moins, pas forcément.


J'aimerais bien que tu m'explique alors...

Hyp
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par Hyp » 26 Fév 2008, 00:16

C'est en effet une erreur assez classique, dont l'explication n'est jamais essaie claire. Voici selon Wiki les deux définitions :

* la fonction : définie par un ensemble de départ E, un ensemble d'arrivée F et une relation de E vers F dans laquelle chaque élément de E possède au plus une image. L'ensemble des éléments de E possédant une image est alors appelé domaine de définition de la fonction
* l'application : définie par un ensemble de départ E, un ensemble d'arrivée F et une relation de E vers F dans laquelle chaque élément de E possède une image et une seule


En gros, une application est une relation entre deux ensembles dont chaque élément possède nécessairement une image. Alors qu'une fonction peut ne pas associer d'image à un même élément, ce qui nous amène souvent à chercher son domaine de définition.

Lierre Aeripz
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par Lierre Aeripz » 26 Fév 2008, 00:27

Donc nous sommes d'accord pour dire qu'en particulier, les applications sont des fonctions !

A part ça, il faut savoir que cette distinction application/fonction est assez bourbakiste et n'est pas très utilisée dans les maths actuelles (même si elle pourrait être pratique !). Il semble que la subtilité n'existe même pas en anglais. Quant une fonction n'est pas définie partout, et que l'on veut insister dessus, on parle de fonction partielle.

Hyp
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par Hyp » 26 Fév 2008, 00:33

Lierre Aeripz a écrit:Donc nous sommes d'accord pour dire qu'en particulier, les applications sont des fonctions !


Bizarrement je ne peux pas le réfuter !

Pourtant je suis presque sûr que ma Prof d'algèbre insistait énormément sur l'inclusion contraire.. J'espère vraiment que c'est ma mémoire qui est fautive.

N'empêche, la nuance demeure bien utilisée en français quand même. Par exemple, on a tendance à dire qu'une application est lipschitizienne plutôt qu'une fonction.

 

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