Limite, série, intégrale

[qaterio]

Ah oui, je la comprend très bien cette définition (je crois), mais ça a pas l'air simple à partir de l'ensemble des intersections d'une famille de droite de donner la fonction correspondante à l'ensemble des intersections.

P.S: Vous êtes prof (lycée, prépa), enseignant-chercheur, ou simplement quelqu'un qui fait des maths pour le plaisir (ça marche pour les deux précédents aussi) ? Je dis ça parce que vous avez l'air d'avoir beaucoup de connaissances.

[Ben314]

Je suis prof. à la fac., mais pas enseignant-chercheur : j'ai un statut un peu bizarre de PRAG (PRofesseur AGrégé) et normalement, je ne fait que de l'enseignement (en tout cas je ne suis payé que pour ça).

[aviateur]

Bonjour
Perso, je reviens sur la modélisation:
On prend la famille
Cette famille forme une courbe qui approxime l'enveloppe des droites D_t.
Deux droites consécutives D_p et D_{p+1} se coupent en un point A_p,p=0,...n-1.
La courbe est la ligne polygonale joignant les points A_0,A_1,.....
La surface à calculer est donc une somme d'aire de trapèzes faciles à calculer.
Pour indication, j'ai fait le calcul est la limite est 1/6.
Pour info la courbe est un arc de parabole dont la directrice est // à la droite y=-x et le foyer est sur la droite y=x et j'ai vérifié, l'aire est bien égale à 1/6.

[Ben314]

Comme ça à l'air de s'enterrer, je vais mettre ce que j'attendais comme "solution" :
Si est l'intersection de et alors et .
Et si on prend la deuxième équation moins la première le tout divisé par puis qu'on fait tendre vers , on obtient (modulo de tout supposer dérivable bien sûr).
Donc en fait "l'enveloppe de la famille de droite", c'est l'ensemble des points qui sont solutions des systèmes (modulo que le déterminant du système soit non nul)

Par exemple dans ton cas, la droite passant par et a pour équation donc le système est où la deuxième équation est la dérivée en de la première.
Le calcul donne et qu'on peut écrire sous la forme ou bien qui permet de voir qu'il s'agit bien d'une parabole comme l'a dit aviateur.

Sinon, pour revenir au cas général, si on suppose que les fonctions sont deux fois dérivables (et que ne s’annule pas sur l'intervalle considéré) alors les fonction et sont dérivable (car elle s'expriment rationnellement en fonction de ).
En dérivant la relation première relation (où sont des fonctions de ) on obtient puis, en retranchant la deuxième relation , on en déduit que ce qui signifie que le vecteur directeur de l’enveloppe au point est orthogonal au vecteur normal de la droite et donc que cette dernière est en fait la tangente à l'enveloppe au point .
Cela donne une deuxième définition (équivalente) à la notion "d'enveloppe d'une famille de droites" : c'est la courbe telle que, pour tout , soit la tangente en à la courbe. (chose que tu as du remarquer sur ton dessin avec géogébra).

[qaterio]

@Ben314,
Déjà, merci pour le temps passé à expliquer la résolution pour trouver l'expression de l'enveloppe convexe de cette famille de droites.
J'ai bien suivi votre raisonnement (je connaissais pas, c'est pas trop dur à comprendre et ça a l'air vraiment pratique), mais du moins, je ne comprend pas pour pourquoi , si on isole le t dans l'expression x(t)=... puis qu'on remplace le t par l'expression selon x dans y(t), on trouve uniquement +, or il me semble, d'après l'un de vos précédents messages que y a uniquement un -, pourquoi ?

[Ben314]

Ca dépend de l'intervalle dans lequel tu prend le réel .
Pour calculer ta fameuse "aire sous la courbe", il suffit de prendre et dans ce cas, le te dit que et que vu que l'autre solution n'est pas dans [0,1]. Ca explique que dans le premier post, je n'ais parlé que de cette solution là.
Mais tu peut aussi te poser la même question (d'enveloppe convexe) avec et là, le te dit que et que pour un donné, il y a deux possible (donc 2 possible). Et si tu regarde sous géogébra, pour bien visualiser que ton morceau de courbe (pour ) est un morceau de parabole (en biais) tu as fortement intérêt à tracer et aussi pour avoir toute la parabole sous les yeux. Donc dans ce dernier post, j'ai mis les deux solutions pour qu'on puisse mieux visualiser la parabole dont parle aviateur : https://www.geogebra.org/classic/hhzczund