Limite et équivalent

[mehdi-128]

Bonjour,

Soit . On a :

D'après le cours, comme la suite de terme général admet une limite finie, on peut en déduire que :



Comment en déduire que :

Merci d'avance.

[Tuvasbien]

Tu peux multiplier les équivalents

[mehdi-128]

D'accord merci.

On a : et

Par produit :

Terminé

[LB2]

Bonjour,

attention a doit être non nul pour que ceci ait un sens (ne jamais écrire quelque chose 0)

[GaBuZoMeu]

Bah, j'ai bien l'impression que ça garde un sens même si . Une suite équivalente à la suite nulle est nulle à partir d'un certain rang, ce qui fait que ce n'est pas très excitant, mais les résultats sur la multiplication des équivalents n'en sont pas affectés pour autant.

[mehdi-128]

@LB2
Dans mon cours, une remarque corrobore ce que vous dites. Par ailleurs, vous avez parfaitement raison, l'énoncé précise , j'ai oublié ce détail. Mais c'est intéressant de le savoir.

Définition :
Etant donné 2 suites et qui ne s'annulent pas à partir d'un certain rang, on dit que est équivalente à si .

Puis l'exercice suivant avec la correction.
Soit une suite admettant une limite finie , peut on affirmer que .
Correction : si , la relation n'a pas de sens car la suite nulle ne rentre pas dans le cadre de la définition.

[GaBuZoMeu]

La définition n'est pas la définition officielle. La définition officielle, c'est que deux suites et sont équivalentes quand il existe une suite tendant vers telle que à partir d'un certain rang.
La définition que tu cites est plus commode à utiliser, au prix justement de devoir exclure les suites prenant la valeur .

Avec la définition officielle dire qu'une suite est équivalente à la suite constante nulle veut dire qu'elle est nulle à partir d'un certain rang. C'est certainement le cas pour quand .

[mehdi-128]

D'accord merci, j'avais croisé cette définition un jour dans un autre livre, mais mon livre actuel de MPSI récent (édition 2018) ne la mentionne pas.
Peut être pour ne pas trop embrouiller les élèves.

[GaBuZoMeu]

Si , la suite est bien équivalent à la suite et on peut bien en déduire que a pour limite .

[LB2]

Bah, j'ai bien l'impression que ça garde un sens même si . Une suite équivalente à la suite nulle est nulle à partir d'un certain rang, ce qui fait que ce n'est pas très excitant, mais les résultats sur la multiplication des équivalents n'en sont pas affectés pour autant.

Tout à fait, c'est simplement une précaution (et ça dépend de la définition exacte qu'on donne à "être équivalent à").
Je suis tout à fait d'accord avec GBZM sur la distinction entre la définition "pour enfants" et "pour grandes personnes".
Malheureusement, la plupart des élèves de MPSI n'ont pas le recul mathématique nécessaire pour manier la vraie définition correctement