Liberté d'une famille

[Zweig]

Salut,

Dans mon DM, j'ai cet exercice :

Soit . On note l'application définie par : .

Etudier la liberté de la famille

Après quelques tests, il me semble que cette famille est libre. Au départ, j'avais pensé à utiliser la formule d'inversion de Pascal, mais finalement une solution plus simple m'est venue à l'esprit ... le problème est que je la trouve trop simple ! Cet exercice est censé être difficile, donc il y a je pense une coquille dans ma démo, mais je ne vois pas où ... Merci de m'éclairer.

Soient . Montrons l'implication suivante :



On doit avoir :



En particulier, pour et , on obtient d'une part et . On est donc ramené à déterminer tous les vérifiant :



En d'autres termes, le polynôme s'annule une infinité de fois, c'est donc le polynôme nul, i.e, tous ses coefficients sont nuls ...

[Ben314]

Perso, ça me parrait parfaitement correct, modulo le fait d'ajouter "pour tout x différent de k.pi..." avant les assertions contenant du cotan(x).

Tu peut même te passer de la première partie consistant à montrer que lambda_0=lambda_n=0.

[Doraki]

un peu plus simplement (sans avoir besoin de s'embêter avec les divisions),
Somme de lambdak fk(x) = P(cos x, sin x), où P est un polynôme homogène de degré n en deux indéterminées..

P(cos x, sin x) = 0 <=> P s'annule sur le cercle <=> (parcequ'il est homogène) P est nul sur R² tout entier <=> P=0.

Et puis pareil que Ben, au début quand je t'ai vu montrer que lambda_0 = 0 je me suis dit "ah il va faire une récurrence en divisant par sin x ou je ne sais quoi" et puis tu continues avec un truc qui se fichait totalement de lambda_0 = 0.
Comment dérouter les lecteurs =D

[Zweig]

Ben314 > Oui, j'avais oublié les kpi !

Bah merci à vous deux ... Je m'étais embêté avec la formule d'inversion de Pascal pour rien !

EDIT : Oui, j'sais pas pourquoi j'ai particularisé :marteau: