Leçon CAPES Maths 2022 sur le Dénombrement

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PythagoreSauvage
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Leçon CAPES Maths 2022 sur le Dénombrement

par PythagoreSauvage » 23 Mai 2022, 15:21

Salut à tous, je me demandais si le plan de ma leçon convenait pour la nouvelle leçon du CAPES 2022 "Exemples de dénombrement dans différentes situations"

Sur ce site récent spécifiquement consacré aux leçons 2022 : https://cbmaths1.files.wordpress.com/20 ... _01-ps.pdf , la leçon en question est vraiment remplie d'exemples (mais sans base ? On a l'impression d'un catalogue) et l'extrait du jury mentionne que se cantonner aux arbres et au diagramme de Venn n'est pas forcément bien vu... Du coup ça m'a un peu refroidi car une partie de ma leçon portait sur ceux-ci (en fait j'ai repris un peu de l'ancien intitulé de la leçon du CAPES qui était "utilisation d'arbres et de tableaux pour le dénombrement") mais j'ai quand même d'autres applications. Dites-moi ce que vous en pensez. Cela dit je pense que c'est essentiel d'y aller progressivement et naturel de débuter cette leçon par les premiers exemples de dénombrement que l'on rencontre en mathématiques à savoir inévitablement les tableaux et les arbres


prérequis : union, intersection de deux parties d'un ensemble, partition d'un ensemble, cardinal d'un ensemble fini, produit cartésien de deux ensembles. Application, injection, bijection

I. Exemples simples de dénombrement
1. Utilisation de tableaux
a) Tableau récapitulatif (exemple --> jet de de deux dés à 4 faces dont on note la somme, utile pour établir les lois de probabilité notamment)

Énoncé du principe d'addition (Soit (E1, E2,..., En) une partition de E. Alors |E| = |E1| + |E2| + ... + |En| )

b) Tableau de Caroll (partition suivant deux critères ou événements et leur complémentaire ) --> exemple compléter un tableau avec 2 critères : Sexe (Homme/Femme) et Fumeur/Non fumeurs parmi une population de 100 individus

2. Utilisation d'un diagramme de Venn --> Exemple classique d'une classe d'élèves qui étudient 3 langues (Anglais, Allemand, Espagnol) avec un certain nombre d'élèves qui étudient : l'anglais, l'anglais et l'allemand etc...

Déterminer le nombre d'élèves qui n'étudient QUE l'anglais

Énoncé du principe de multiplication (ou du produit) Soit p un entier naturel non nul. Si une situation comporte p étapes offrant respectivement n1, n2,,,,np possibilités (où chaque ni ne dépend que de l'étape i) alors le nombre total d'issues est n1xn2x...xnp

3. Utilisation d'arbres (application directe du principe du produit) Soit E = {1, 2, 3, 4}. Dénombrer tous els nombres formés de trois chiffres distincts de E et commençant par 1

4. Principe du berger --> Etant donnés deux ensembles quelconques finis X et Y. Soit f : X->Y une surjection telle que les f^(-1)({y}), pour y dans Y, aient tous même cardinal c, alors |X| = c|Y|

--> Exemple avec le berger qui compte les pattes de ses moutons et en déduit le nombre de moutons

II. Dénombrement des arrangements et permutations
E désigne un ensemble fini de cardinal n, où n est un entier naturel non nul.

1) p-listes
Définiton : suite ordonnée de p élément de E (ou toute application de {1, 2, ..., p} vers l'ensemble E
Peut être vue comme un élément du produit cartésien E^p

exemple : Nombre de mots de passe de 6 caractères, lettres ou chiffres : (26+10)^6

Proposition : Cardinal de E^p = |E|^p (généralité : Cardinal des applications de E dans F = |F|^|E|)
Définition : Ensemble des parties d'un ensemble
Observation : il y a bijection entre P(E) et l'ensemble des applications de E vers {0, 1}
Conséquence --> Cardinal de l'ensemble P(E) : 2^|E|

Exemple : E = {a, b, c}. P(E) = {ens. vide, {a,b,c}, {a}, {b}, {c}, {ab}, {ac}, {bc}}

2) Arrangements
préliminaire possible --> cardinal des injections de E (cardinal = p) dans F (cardinal = n) : n!/(n-p)!
(la formule peut se démontrer par récurrence)

Définition d'un arrangement : une p-liste d'éléments de E 2 à 2 distincts.

Théorème : nombre d'arrangements = n!/(n-p)!

Exemple --> nombre de façons de répartir 4 voitures sur un parking de 6 places = 6!/2! = 3x4x5x6

3) Permutations
préliminaire possible --> cardinal des bijections de E dans E (cas particulier de l'arrangement quand p = n)

Définition : arrangement de n éléments de E

Théorème : cardinal des permutations d'un ensemble = n!

Exemple : nombre de mots de passe qu'on peut former avec 5 lettres (distinctes) = 5!

III. Application
Principe des anniversaires : déterminer le nombre minimum de personnes se trouvant dans une salle pour que la probabilité que deux d'entre elles aient leur anniversaire le même jour soit >= 0,9

Fait intervenir les arrangements, le principe du produit, la définition des probabilités en terme de nb. cas favorables/nb total de cas, et l'événement complémentaire.

Qu'en pensez-vous ?



 

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