Isomorphe

[zork]

Bonsoir,

Soient V un ensemble algébrique de et son idéal associé
Montrer que V est un singleton

Comment faire?

[L.A.]

Hello.

Le sens indirect est facile, il suffit de considérer le morphisme d'évalution en un point de C^n.
Le sens direct est plus délicat, c'est un théorème qui porte le joli petit nom de "Nullstellensatz faible".

[Ben314]

Salut,
Sauf erreur, le sens direct est tout aussi "immédiat" en raisonant par contraposition : Si V contient (au moins) 2 points distincts A et B de et qu'on considère l'application alors est un morphisme d'espace vectoriels (voire même d'anneau, mais c'est pas utile ici) surjectif telle que qui, en passant au quotient fourni un morphisme d'e.v. (voir même d'anneau) surjectif de dans donc est de dimension au moins 2.

Et, si tu aime pas les preuve "abstraites" tu peut le faire à la main complet en disant que, si V contient deux points distincts A et B alors il existe un i tel que la i ème coordonnée de A soit différente de la i ème coordonnée de B et tu montre façilement que le s.e.v. est de dim 2 et d'intersection nulle avec I.

[L.A.]

En effet, la difficulté arrive quand on part d'un idéal I dont le quotient est C et quand on veut prouver que la variété V(I) associée est non vide. Mais ici on part de la variété et le cas vide ne se présente pas.

Otanpourmoua...

[Ben314]

En effet, la difficulté arrive quand on part d'un idéal I dont le quotient est C et quand on veut prouver que la variété V(I) associée est non vide. Mais ici on part de la variété et le cas vide ne se présente pas.

Ça me semble pas diabolique non plus :
Si est ton isomorphisme d'algèbre,
et la projection cannonique dans le quotient,
Alors or, pour tout on a où avec .
Donc

[L.A.]

on a où

Et comment tu prouves l'existence de ce point M ? ou que les morphismes d'agèbre de C[X_1,...X_n] vers C sont tous des évaluations en un point ? On revient toujours au Nullstellensatz qui quoiqu'on fasse n'est pas une trivialité.

[L.A.]

OK j'ai compris mon erreur :mur:
le Nullstellensatz concerne les morphismes d'algèbres de C[X_1,...,X_n] dans un corps quelconque (pas forcément C), et dit que si le morphisme est surjectif alors le corps est C, autrement dit que tous les idéaux maximaux de C[X_1,...,X_n] sont de la forme (X_1-x_1,...,X_n-x_n).

:triste:

[Ben314]

OK j'ai compris mon erreur :mur:
le Nullstellensatz concerne les morphismes d'algèbres de C[X_1,...,X_n] dans un corps quelconque (pas forcément C), et dit que si le morphisme est surjectif alors le corps est C, autrement dit que tous les idéaux maximaux de C[X_1,...,X_n] sont de la forme (X_1-x_1,...,X_n-x_n).

:triste:

Là, effectivement, c'est (nettement) moins trivial...