Isomorphe

[zork]

Bonjour,


J'ai trouvé les éléments de G




Comment montrer que G/H isomorphe à (groupe symétrique)?

J'ai pensé au théorème de factorisation car mais ca ne marche pas


merci

[Ben314]

Salut,
je comprend pas trop ton énoncé : j c'est la racine cubique de l'unité usuelle ?
Dans ce cas là, j^3, ça fait 1...

Ou alors, tout les cubes, c'est une erreur de frappe, mais dans ce cas, je vois toujours pas bien : j, racine(2) et racine(5) sont Q-libres et de degrés 2 donc, sauf erreur, G est isomorphe à (Z/2Z)^3 et en particulier il est commutatif...


Edit : je crois que je viens (enfin) de comprendre : c'est des racines cubiques tes fameux 3 qui trainent non ?
Alors en TeX, ça se tape \sqrt[3]{2} :

[Ben314]

J'ai pensé au théorème de factorisation car mais ca ne marche pas

Comment ça "ca marche pas" : je trouve que c'est O.K. ...

[Ben314]

J'ai pensé au théorème de factorisation car mais ca ne marche pas

Je comprend pas trop pourquoi "ça marche pas".
(et je vois pas trop comment tu définis le morphisme g...)

[zork]

oui ce sont des racines cubiques

comment fais tu avec le théorème de factorisation?
il faut que je prenne un morphisme et comment montrer que le noyau de h est bien H?

[Ben314]

Ton morphisme est parfaitement bien défini car tout automorphisme de envoie sur lui même. (par contre j'ai des doutes concernant l'existence de ton morphisme g...)
Le noyau de f, c'est les automorphismes dont l'image c'est le neutre de donc c'est les -automorphismes de donc c'est bien ton sous groupe H.
Le théorème de factorisation (je suppose que c'est bien comme ça qu'il s'appelle) te dit que dans ce cas, G/H=G/ker(f) est isomorphe à Im(f).
Ici, ç'est assez trivial de vérifier que f est surjective et c'est (quasi) du cours de vérifier que est isomorphe à car est le corps de factorisation (sur Q) du polynôme X^3-2 (à ce niveau là, on peut même dresser "à la main" la table des éléments qui composent le groupe et vérifier que c'est bien .

[zork]

j'ai une nouvelle question:
Trouver une section de f

Je sais qu'une section doit vérifier:
où
et
De plus où est l'identité et


du coup je voulais prendre,
mais le problème c'est que je n'ai pas du coup où me suis je trompé?

[Ben314]

Je comprend pas bien ce que tu veut faire...
Déjà, perso, pour visualiser , j'aurais tendance à considérer les trois racines de : ; et pour pouvoir directement voir comme le groupe des permutation de l'ensemble {a,b,c}.
Par exemple, ton c'est le 3-cycle et ton ton c'est la transposition qui, à eux deux, engendrent effectivement .

Aprés, tu écrit (il faut mettre \{ et \} pour afficher les accolades en latex) sans justifications et... ce qui est faux.
En plus, en dessous tu défini comme étant... l'identité...
Et tu fini par dire que tu va prendre alors que tu as bien précisé que ce que tu cherchais, c'est une section de f (donc en particulier une fonction injective qui, à part pour le neutre, n’atterrit pas dans le noyau de ...).

Reprenons :

1) On sait que où .
C'est quoi le polynôme minimal de sur ? Et sur ?
Donc c'est quoi le groupe des automorphismes de sur ?

2) De savoir qui est précisément , c'est pas forcément d'un énorme intérêt pour trouver une section de . (Quasi) par définition d'une section de , tu sait que le seul élément commun à et à doit être l'élément neutre donc de connaitre , ça aide moyen...

3) Pour trouver une section de , il faut évidement partir d'un élément de l'ensemble d'arrivé de , c'est à dire d'un automorphisme de .
Par définition de , est entièrement caractérisé par la connaissance de et celle de (2x3=6possibilités)
Il faut maintenant que tu lui "construise" une image qui doit être un élément de l'ensemble de départ de , c'est à dire un automorphisme de .
De même, pour définir entièrement , il suffit de dire ce que valent , , .
Et, vu que tu veut que ce soit une section de , si tu réfléchi un peu, il y a deux des trois valeurs où tu n'a pas franchement le choix. Pour la troisième valeur, à toi de voir (a mon avis, l'idéal serait même que tu sache dire s'il y a plusieurs sections possible ou pas, c'est à dire si on a le choix pour la 3em valeur...)