Isométries vectorielles

[jeje56]

Bonjour,

Je cherche l'exercice suivant :

E est un espace euclidien orienté, v un vecteur unitaire de E et a un réel. On désigne par u la rotation d'angle a et d'axe dirigé par v.

MQ pour tout x de E : u(x)=(1-cos a)v + cos(a)x + sin(a)(vVx)

où vVx est le produit vectoriel de v et x

Je ne vois pas bien commencer démarrer...

Merci bcp de votre aide !

[Maxmau]

Bj
Ecris x comme somme d'un vecteur colinéaire à V et d'un vecteur orthogonal à V

[jeje56]

Slt Maxmau, merci.

x=v + u, ac u unitaire et orthogonal à v...

[jeje56]

Personne ?...

[Maxmau]

Attention : u désigne déjà la rotation
On a : x = v + y où y orthogonal à v
D’où : u(x) = v + u(y)
Exprime u(y) comme combinaison linéaire de y et v V y = v V x

[jeje56]

Merci :

u(y)=(cos(a)*||u(y)||)y + (sin(a)*||u(y)||(vVy)

Pourquoi vVy=vVx ?

Comment faire disparaitre les normes...

Merci !

[Maxmau]

On a : vVy se déduit de y par rotation d’angle ;)/2 autour de v
Et u(y) se déduit de y par rotation d’angle a autour de v
Donc u(y) = Cos(a) y + Sin(a) vVy
De plus v V y = v V (x- v) et comme v colinéaire à v ,
v V y = v V x

[jeje56]

Merci Maxmau.

Mais pourtant y n'est pas unitaire...

L'expression de u(y) est quand même celle que tu as donnée ?

Merci !

[Maxmau]

y n'est pas unitaire mais
y, u(y) , vVy ont même norme...donc...

[jeje56]

Exact... Merci à toi ;-)