Isométries affines

[Trident]

Bonjour, je bloque sur un exercice de géométrie affine.

Soit E un espace affine de dimension 3. Soit D une droite affine de E. Il faut déterminer toutes les isométries affines s qui laissent stable la droite D.

Dans le cours, nous avons classifié les isométries affines d'un espace affine de dimension 3. Si f est une isométrie affine de D, alors deux cas : (nous noterons son application linéaire associée)
- f est directe.
- f est indirecte.
Notons F = {ensemble des points fixes de f} =

Si f est directe :

Si F est vide, alors il faut regarder . Si , alors f est une translation.Et si est une rotation de , alors f est un vissage.

Si F est une droite affine D, alors f est une rotation d'axe D et donc est une rotation d'axe


Si f est indirecte :

Si F est vide, alors est une symétrie orthogonale par rapport à un plan =ker( et f est un glissement par rapport à un plan affine de direction et de vecteur .

Si F est un plan affine, alors f est une symétrie orthogonale par rapport à F et est la symétrie orthogonale de par rapport à .

Si F est un singleton , alors est une rotation d'axe une droite et une symétrie orthogonale par rapport à (où orth(D) est l'orthogonale de D) et alors pour tout point M de E, .

Peux-ton, par un raisonnement direct, caractériser toutes ces isométries ou alors faut-il procéder par tâtonnement?

[Trident]

Personne ?

J'ai fait une liste mais j'ai pas montré qu'elle était exhaustive. Il y a :

-l'identité de E clairement

-toute translation de vecteur

-la rotation affine d'axe D

-les vissages d'axe D et de vecteur

-toute symétrie orthogonale de plan affine P tel que
-toute composée de rotation affine d'axe D et d'une symétrie orthogonale de plan affine P tel que

[Rha]

Bonsoir,

La classification est tout de même un outil précieux.
Je pense qu'un raisonnement qui refuse de tâtonner et qui s'en passe finit par se lancer dans une disjonction des cas bien hasardeuse comparée à celle présentée ici.

Je te conseillerai plutôt de tatonner au maximun, c'est-à-dire partir des feuilles de l'arbre sans perdre du temps à saisir un lien entre nombre de points fixes après translation et espace stable qui est peut-être assez complexe.

Bon après je dis surtout ça parce que ton exo ne m'évoque pas d'idée de génie, il y a peut-être plus astucieux que le refus de faire preuve d'astuce!

[Rha]

Déjà c'est pas mal, tu as peut-être tout trouvé.

Si tu montres que l'ensemble que tu cherches à caractériser est un sous-groupe du groupe des isométries de , dont tu connais une partie génératrice, tu pourras conclure en en excluant les générateurs qui ne sont pas dans ton ensemble.

[Trident]

Déjà c'est pas mal, tu as peut-être tout trouvé.

Si tu montres que l'ensemble que tu cherches à caractériser est un sous-groupe du groupe des isométries de , dont tu connais une partie génératrice, tu pourras conclure en en excluant les générateurs qui ne sont pas dans ton ensemble.

Ah, c'est dommage, nous verrons les groupes qu'au prochain semestre donc je ne peux pas les utiliser.

[Rha]

Ah, c'est dommage, nous verrons les groupes qu'au prochain semestre donc je ne peux pas les utiliser.

Tiens c'est étrange ça! Un espace affine c'est quoi du coup? (parce que l'ensemble des vecteurs munis de la loi additive est un groupe).

Bon le point positif c'est que mon message était inutile en fait ça revient à faire du tâtonnement mais en se compliquant la vie.

[Trident]

Tiens c'est étrange ça! Un espace affine c'est quoi du coup? (parce que l'ensemble des vecteurs munis de la loi additive est un groupe).

Bon le point positif c'est que mon message était inutile en fait ça revient à faire du tâtonnement mais en se compliquant la vie.

On a définit un espace affine comme étant un ensemble non vide E (ses éléments sont appelés points) tel qu'il existe un espace vectoriel qu'on note et une application E x E ->qui a tout bi point (A,B) associe l'élément de noté et qui satisfait les propriétés suivantes :

Pour tout dans et tout point , il existe un unique tel que .

Pour tout point A et B, on a :
Pour tout point A,B,C on a : (relation de Chasles)