Inverse d'une fonction complexe

[macally]

bonjour,

Soit l'application f: C\{-1} --> C
z-->(z-i)/(z+i)

j'ai trouver que l'application etait bijective, donc maitenant je peut chercher son inverse par f de D {Z appartient à C||Z|<1}

il faut que j'utilise 1-|f(z)|²à l'aide de |z+i| et IM(z).

le souci c'est que je ne vois pas comment faire?

[klevia]

T'es sur de devoir utiliser tout ça...
Tu peux pas exprimer z en fonction de Z ?

[macally]

en fait c'est lenoncé de l'exercice parceque j'ai exprimé z en fonction de Z

z= i 1+Z/1-Z mais apres ...

[klevia]

pourrais-tu écrire un énoncé précis parce que la, je comprends plus rien...

[macally]

alors l'enoncé c'est :

Soit l'application f: C\{-1} --> C
z-->(z-i)/(z+i)

1) l'application est elle injective?surjective?

2) quelle est l'image réciproqie par f de D { Z appartien à C |Z|<1}?
indication: exprimer 1-|f(z)|² à l'aide de |z+i| et Im(z)

3) Quelle est l'image directe de f du cercle de centre ;)=(2,0) et de rayon r=2?

[macally]

que dois je faire?? avec z en foction de Z?

[klevia]

Pour la question 2, je trouve que g réciproque de f est :
G: Z -> -i(Z+1)/(Z-1)

[macally]

ba je veux bien mais le souci c'est que dans ce que tu as trouvé tu n'as pas utilisé les indications??

[macally]

j'aimerais egalement savoir si ce ke j'ai fait c'est bon pour la question:

Soit l'application f: C\{-1} --> C
z-->(z-i)/(z+i)

1) l'application est elle injective?surjective?

j'ai démontrer que z-i etait inj et que z+i etait inf
donc que z-i/z+i etait inj
de meme pour la surjectivité
de ce fait f(z) etait bijective.

[klevia]

j'arrive pas à faire tes questions mais pour ton raisonnement, il m'a l'air faux..

Par exemple: f: x -> 1=x/x n'est pas injective mais g: x ->x l'est ...

[macally]

j'ai trouvé comment demontrer l'injectivité

on prend f(z1)=f(z2)
ça fait (z1-i/z1+ i)= (z2-i/z2+i)

(z1-i)(z2+i)=(z2-i)(z1+ i)
on dvt et on simplifie
on arrive à Z1=Z2
donc injective

mais est ce que quelq'un aurai une idee pour la surjectivité?

[klevia]

Quand tu exprimes z en fonction de Z , tu réponds à la question de la surjectivité puisque tu trouves un antécédant à Z.
Mais attention , y'a un problème dans le domaine de définition de ta fonction ...
va falloir être attentif à ca ...

[macally]

oui je pense qu'il y a une erreur dans l enoncé, mais la fonction doit bien etre surjective car on me demande a la question d' apres de trouver sa reciproque.

[macally]

j'ai un petit souci de calcul, decidement les maths et moi ça fais plus que deux !!

j'ai calculé (z1-i)(z2+i)=(z2-i)(z1+ i)
et j'obtien z1+iz2=z2+iz1

comment je peux en deduire l'injectivité?