Inverse d'un polynôme

[pommes frites]

Bonsoir je ne comprends pas pourquoi si on prends K un corps et qu'on note K[X] l'anneau des polynômes à une indéterminée à coeffs dans K alors:
K[X]*=K*.
Pourquoi les polynômes inversibles sont forcément des éléments du groupe multiplicatif de K?

Qque chose doit m'échapper parce que ça n'a pas l'air très sorcier à comprendre, mais rien n'a y faire je ne le vois pas.
Merci

[abcd22]

Bonjour,
Si A est inversible dans K[X], il existe un polynôme B dans K[X] tel que AB = 1 par définition, donc deg A + deg B = deg 1 = 0. Comme le degré d'un polynôme est positif ce n'est possible que si deg A = deg B = 0.

[MacManus]

Ce qui voudrait dire que A est une polynôme constant...et que cette constante est élément de K*...on peut dire ça ??

[pommes frites]

En effet merci beaucoup pour cette démonstration tout ce qui a de plus convaincante, en fait c'est tout con c'est juste que j'ai confondu K(X) avec K[X] (pour moi 1/polynôme était toujours un polynôme...) bon j'ai encore du boulot avant la rentrée on dirait...
En tout cas merci abcd22 et bonne soirée

[leon1789]

Effectivement, les inversibles du corps K(X) sont simplement les fractions non nulles. A ne pas confondre avec les inversibles de K[X] que abcd22 a caractérisés.

[ThSQ]

Juste pour le plaisir (je connais les réponses), un prolongement :

- Quid de A[X]* si A est un anneau commutatif quelconque (par forcément intègre) ?

- Quid de K[[X]]* ?

[leon1789]

Juste pour le plaisir (je connais les réponses), un prolongement :

- Quid de A[X]* si A est un anneau commutatif quelconque (par forcément intègre) ?

- Quid de K[[X]]* ?

ok.
D'ailleurs, on pourrait prendre A[[X]]* tant qu'à faire, non ? :we: