Intersection de plan

[Rockleader]

J'ai deux droites

D1 telle que : x=1 et x+z-1 = 0
D2 telle que z=-1 et x-y=0

Un point Cm(m,0,m)

Je sais que le plan P passe par Cm et par D1.
Le plan Q passe par Cm et D2.

Je dois trouver les équation cartésiennes de l'intersection Im de P et Q.


Sauf que je ne sais pas du tout comment attaquer le problème. A priori le point Cm n’est pas sur aucune des deux droites. On ne sait pas si les droites données sont colinéaires aux vecteurs directeurs du plan donc on ne peut pas tirer de vecteur directeur.


La seule information potable que je vois c'est que l'équation du plan devra vérifié les coordonnées de Cm....



Pour moi la méthode à suivre ce serait: Déterminer l'équation du plan P et du plan Q pour trouver l'équations des intersections dont on sait au moins que le point Cm en fait partie puisqu'il appartient aux deux plans et vu la façon ont la question est posé l'intersection sera à priori au moins une droite.


Sauf que je ne vois pas comment je peux trouver les équation de P et Q avec ce que j'ai :marteau:


Merci pour votre aide.

[XENSECP]

D1 : x = 1 et x+z-1=0, donc z = 0. Je pense que tu vois le vecteur directeur de D1 (enfin j'espère).

D2 : z=-1 et x-y=0, donc x = y et z = -1... Vecteur directeur (1,1,0)

Pour P :
ax+by+cz+d = 0
avec am+cm+d=0
De plus D1 appartient à P donc pour tout y, a+by+d=0
Pour y = 0, tu as d = -a
Pour y = 1, tu as b = 0 (même si c'était assez évident).

Reste plus que cm = -a(m+1), soit c = -a(m+1)/m

Je te laisse avancer.

[Rockleader]

Ok je vais essayer ça, je reposte si j'ai à nouveau un soucis là dessus.

[Doraki]

On ne sait pas si les droites données sont colinéaires aux vecteurs directeurs du plan donc on ne peut pas tirer de vecteur directeur.

de quel plan tu parles ?

[Maxmau]

J'ai deux droites

D1 telle que : x=1 et x+z-1 = 0
D2 telle que z=-1 et x-y=0

Un point Cm(m,0,m)

Je sais que le plan P passe par Cm et par D1.
Le plan Q passe par Cm et D2.

Je dois trouver les équation cartésiennes de l'intersection Im de P et Q.


Sauf que je ne sais pas du tout comment attaquer le problème. A priori le point Cm n’est pas sur aucune des deux droites. On ne sait pas si les droites données sont colinéaires aux vecteurs directeurs du plan donc on ne peut pas tirer de vecteur directeur.


La seule information potable que je vois c'est que l'équation du plan devra vérifié les coordonnées de Cm....



Pour moi la méthode à suivre ce serait: Déterminer l'équation du plan P et du plan Q pour trouver l'équations des intersections dont on sait au moins que le point Cm en fait partie puisqu'il appartient aux deux plans et vu la façon ont la question est posé l'intersection sera à priori au moins une droite.


Sauf que je ne vois pas comment je peux trouver les équation de P et Q avec ce que j'ai :marteau:


Merci pour votre aide.

Bj
Tu peux utiliser l'équation du faisceau des plans contenant D1 et l'équation du faisceau des plans contenant D2. C'est rapide

[Rockleader]

Bj
Tu peux utiliser l'équation du faisceau des plans contenant D1 et l'équation du faisceau des plans contenant D2. C'est rapide

J'aimerais bien; mais là je n'ai aucune idée de ce dont tu me parles^^ce n'est pas du niveau 1ère année ou alors je ne l'ai pas vu encore...

D1 : x = 1 et x+z-1=0, donc z = 0. Je pense que tu vois le vecteur directeur de D1 (enfin j'espère).

Vecteur directeur : (1,0,1) ?

D2 : z=-1 et x-y=0, donc x = y et z = -1... Vecteur directeur (1,1,0)

Sauf erreur, ce ne serait pas plutot (1,-1,0) ?

De plus D1 appartient à P donc pour tout y, a+by+d=0

Là je n'ai pas compris comment on trouve ça.

[Doraki]

Sauf erreur, ce ne serait pas plutot (1,-1,0) ? [...] Vecteur directeur : (1,0,1) ?

non. J'ai l'impression que tu dis des trucs au hasard après avoir effleuré des yeux les équations.

Si tu veux trouver un vecteur directeur d'une droite, tu dois :

a) trouver un point P appartenant à la droite.
b) trouver un point Q différent de P appartenant à cette même droite.
c) calculer le vecteur PQ.

[Maxmau]

a et b étant 2 paramètres
a (x-1) + b (x+z-1) = 0 est un plan contenant D1
On choisit a et b pour qu'il contienne C(m,0,m)
(2m-1)(x-1) - (m-1)(x+z-1) = 0 est un plan contenant D1 et le point C(m,0,m)

[Rockleader]

Pour la première droite on a d'imposé x=1 et z=0

y n’apparaît pas donc je suis tenté de dire qu'on lui impose également la valeur 0

Donc j'ai deux points (1,0,0) qui au final sont confondu...
Donc vecteur AB (0,0,0) je ne crois pas que l'on puisse parler de droite dans ces conditions là.


Et si y n'est pas imposé à 0 et prend n'importe quelle valeur, la vecteur AB sera toujours différent.





Pour la seconde droite

z=-1
et x=y

Soit A(2,2,-1) et B(3,3,-1)
Ce qui ferait AB(1,1,0); mais là encore qu'est ce qui m'empêche de prendre le point B(5,5,-1)
Le vecteur AB se transforme alors en (3,3,0)
Alors certes ils seront colinéaires; mais ça va faire des différences dans le calcul.

[XENSECP]

Pour la première droite on a d'imposé x=1 et z=0

y n’apparaît pas donc je suis tenté de dire qu'on lui impose également la valeur 0

Donc j'ai deux points (1,0,0) qui au final sont confondu...
Donc vecteur AB (0,0,0) je ne crois pas que l'on puisse parler de droite dans ces conditions là.


Et si y n'est pas imposé à 0 et prend n'importe quelle valeur, la vecteur AB sera toujours différent.

A côté de la plaque...

(1,0,0) et (1,1,0) sont 2 points de la droite qui te permettent de trouver le vecteur comme t'a conseillé Doraki

[Rockleader]

A côté de la plaque...

(1,0,0) et (1,1,0) sont 2 points de la droite qui te permettent de trouver le vecteur comme t'a conseillé Doraki

Ben, c'est bien ce que je dis, on va avoir un vecteur de la forme (0,a,0) avec a un réel quelconque qui dépendra du point qu'on a choisi.

[XENSECP]

Oui et non.

Le vecteur est de la forme (0,a,0) mais concrètement quand on donne un vecteur directeur, on donne un vecteur (soit simple soit normal) donc ici : (0,1,0) !! Et ça dépend pas du point!!!

[Doraki]

Pour la première droite on a d'imposé x=1 et z=0
y n’apparaît pas donc je suis tenté de dire qu'on lui impose également la valeur 0

Sérieusement !? Quand tu lis "l'ensemble des points (x,y,z) tels que x=1 et z=0", tu comprends "l'ensemble des points (x,y,z) tels que x=1 et y=0 et z=0" ??

En outre, je t'ai demandé "un" vecteur directeur, pas "le" vecteur directeur (va relire ta définition de vecteur directeur d'une droite). Pour la deuxième droite, (1,1,0) et (3,3,0) sont effectivement des vecteurs directeurs de la droite, comme tous les vecteurs (k,k,0) où k est un réel non nul. Pour n'importe quelle droite, si u est un vecteur directeur, alors pour tout réel non nul k, k*u sera encore un vecteur directeur de cette même droite.

Et même si tu choisis de toujours prendre un vecteur de norme 1 comme vecteur directeur, il y en a toujours deux (donc on ne peut toujours pas dire "le vecteur directeur normé d'une droite")

[Rockleader]

Bref, j'ai mes deux vecteurs directeur; j'en suis donc à cette étape là
(0,1,0) pour la droite 1
(1,1,0) pour la droite 2

qui sont le plus simple possible.

Pour la forme générale d'un plan c’est ok.
Cette forme est vérifié par le point CM, c’est ok aussi.

De plus D1 appartient à P donc pour tout y, a+by+d=0

Mais là, je ne comprends pas comment on arrive à ça.

[Black Jack]

Et si on a tout oublié, on peut quand même simplement trouver 2 points de la droite et puis résoudre un système de 3 équations simples à 3 inconnues.

Voila par exemple pour l'équation de P (avec moult détails)..


Soit ax + by + cz + d = 0 l'equation de P

2 points de D1 : (1 ; 0 ; 0) et (1 ; 1 ; 0)

On exprime que P contient les 2 points de D1 et le point Cm.
--> on a le système :

a + d = 0
a + b + d = 0
am + cm + d = 0

qui se réduit à :

a + d = 0
b = 0
am + cm + d = 0

am + cm - a = 0
cm = a(1-m)
Si m est diff de 0 ---> c = a(1-m)/m

Eq de P : ax + by + cz + d = 0

ax + (a(1-m)/m).z - a = 0

x + ((1-m)/m).z - 1 = 0 (équation de P) ... si m est différent de 0.

Et dans le cas particulier où m = 0, on a :

a + d = 0
b = 0
d = 0

a = b = d = 0
---> z = 0 (équation de P) ... si m = 0.
*****
Groupement des résultats :

Equation de P :

z = 0 ... si m = 0.

x + ((1-m)/m).z - 1 = 0 si m est différent de 0.
*****
Toutes erreurs incluses.

:zen:

EDIT:

Remarque:

Dans ma réponse ci-dessus, on peut grouper les résultats trouvés, soit :

Equation de P :

z = 0 ... si m = 0.

x + ((1-m)/m).z - 1 = 0 si m est différent de 0.

et remplacer cela par :

Equation de P :

m.x + (1-m)z - m = 0 pour tout m.

:zen:

[Rockleader]

Ok, n'ayant pas mon brouillon sous les yeux actuellement je peux pas vraiment poser tout ça et vérifier par moi même; mais je pense avoir compris; je reposterai dans la soirée une fois rentré chez moi afin de voir si j'ai compris ce qu'il faut.


Merci encore.

[siger]

Ok, n'ayant pas mon brouillon sous les yeux actuellement je peux pas vraiment poser tout ça et vérifier par moi même; mais je pense avoir compris; je reposterai dans la soirée une fois rentré chez moi afin de voir si j'ai compris ce qu'il faut.


Merci encore.

Bonjour,

une autre methode classique consiste a ecrire que pour une droite passant par un point A et de vecteur directeur v
- le vecteur normal N(a,b,c) au plan d'equation ax + by + cz + d = 0 doit verifier les conditons vectorielles N.v= 0 et N.AC=0
et que le point C(m,0,m) est dans ce plan (en supposant m different de 0)
ce qui conduit a determiner a, b et d (par exemple) en fonction de c

exemple : plan Q
on a v(1,1,0) A(0,0,-1) d'ou AC (m+1,0,m)
et
N.v = 0 ou a + b= 0
N.AC = 0 ou a(m+1) + mc = 0
C dans P : am + cm + d = 0
ce qui conduit a
b=-a
a = -c*(m+1)/m
d = c
et a l'equation du plan
-(m+1)x + (m+1)y +mz + m = 0

REmarque
la droite d'intersection de P et Q est definie par les coordonnees cartesiennes des deux droites d'intersections des plans avec les plans xoy et xoz par exemple...
pour avoir directement l'equation de la droite d'intersection il vaut mieux passer par les equations parametriques des droites D1 et D2 et des plans P et Q

[Rockleader]

Alors, après avoir tout posé sur mon brouillno j'en arrive à:

Equation de P : x + [(1-m)/m]z -1 = 0

Equation de Q : (-c-c/m)x+ (c+c/m)y +dz+d = 0


A partir de là je pose P = Q Et je trouve l'intersection, c'est bien ça ?

[siger]

Alors, après avoir tout posé sur mon brouillno j'en arrive à:

Equation de P : x + [(1-m)/m]z -1 = 0

Equation de Q : (-c-c/m)x+ (c+c/m)y +dz+d = 0


A partir de là je pose P = Q Et je trouve l'intersection, c'est bien ça ?

OK
mais tu dois trouver pour le plan Q : c = d ( en ecrivant que C est dans le plan, si je me souviens bien)
d'ou l'equation
-(1+m)x + ( 1+m) y + mz+ m = 0

[Rockleader]

Oui oui, j'ai bien trouvé c=d dans la réduction du système de Q

En utilisant deux point j'ai compris comment faire...mais la méthode ou on me disait d'utiliser le vecteur directeur j'ai pas compris...j'aurais bien aimé mais...

Enfin j'ai au moins compris un raisonnement c’est l'essentiel...