Intégration par parties

par **Bulle72** » 24 Nov 2006, 16:42

Bonjour à tous,
Je cherche la nature de l'intégrale de sin(x)sin(1/x) sur [1, + l'infini]. La seule solution "logique" que j'ai trouvé pour le faire c'est de faire une intégration par parties (ce qui était fortement conseillé à la base).

1)En prenant u= sinxsin1/x et v'=1 (donc u'=cosxsin1/x et v=x) ça n'aboutit pas il me semble.
2)En prenant u=sinx et v'=sin1/x (donc u'=cosx et v=?(je n'ai pas trouvé la primitive de sin 1/x))
3)En prenant u=sin1/x et v'=sinx (donc u'=-(1/x²)cos1/x et v=-cosx) Je n'ai pas trouvé la solution.

Sauriez-vous m'indiquer où je me suis trompée? Quelle est la solution à mon problème?

Merci d'avance!

par **yos** » 24 Nov 2006, 16:50

Bonjour.
Après avoir utilisé la 2ème solution, tu peux poser u=1/x et tu es ramené à l'intégrale de cosucos(1/u) susceptible du même traitement que la première.
Ca peut marcher.
Inutile de chercher une primitive de sin(1/x) en tout cas.

par **yos** » 24 Nov 2006, 17:04

Mon truc a pas l'air de marcher.

Autre chose : en te lisant, ta dérivée de la première méthode que tu proposes est fausse : dérivée d'un produit uv...

par **Bulle72** » 24 Nov 2006, 17:06

Pour utiliser la deuxième solution il me faut la primitive v de v'=sin(1/x) pour la formule: intégrale(uv')=[uv]-intégrale(u'v), non?

par **Bulle72** » 24 Nov 2006, 17:11

Ah oui exact, j'ai oublié un morceau en recopiant ma feuille:
u=sinxsin1/x et v'=1
u'=cosxsin1/x-(1/x²)sinxcos1/x et v=x
Je voulais utiliser cosasinb-sinacosb=sin(a-b) pour cette solution mais le "1/x²" m'ennuie...

par **yos** » 24 Nov 2006, 17:27

Je viens de relire ton énoncé. Il s'agit de trouver la nature de l'intégrale impropre et pas de la calculer! D'ailleurs à mon avis elle se calcule pas (sauf par des méthodes numériques).
Du coup c'est facile :
Ta troisième méthode fait apparaître l'intégrale de

qui est en valeur absolue majorée par 1/x²

par **Bulle72** » 24 Nov 2006, 17:31

C'est ça, merci beaucoup! :happy2:
Maintenant je vais pouvoir faire les autres questions qui étaient reliées à celle-là et donc auxquelles je n'avais pas accès.
Encore merci!

par **Bulle72** » 24 Nov 2006, 17:37

Et pour le [-cosxsin1/x] que j'ai devant (après l'intégration par parties), il faut que je cherche aussi un majorant pour prouver la convergence de l'intégrale (du début)?

par **yos** » 24 Nov 2006, 17:50

Intègre par parties de 1 à X et fait tendre X vers +l'infini dans les deux termes obtenus.
Le premier terme tend vers cos1sin1 et le second (l'intégrale) vers une limite finie d'après Riemann, donc le tout tend vers une limite finie.

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